Bemerkungen zu sinc, Gleichverteilung und Diskrepanz

Peter Zinterhof, Salzburg

peter.zinterhof@sbg.ac.at

Der Zusammenhang zwischen Verteilungsfunktionen und ihren charakteristischen Funktionen (Fourier-Transf.) ist gut bekannt. Es gilt z.B. der bekannte Satz:

 

Satz 1.

Die Verteilungsfunktionen FM(t),M = 1, 2,..., konvergieren genau dann gegen eine Verteilungsfunktion F(t) an jeder Stetigkeitsstelle von F(t), wenn die charakteristischen Funktionen φrα(x) gegen ein φ(x) konvergieren, welches bei x = 0 stetig ist. In diesem Fall ist φ(x) die F.T. von F(t) und die φn(x) konvergieren kompakt gegen φ(x).

Wir leiten aus diesem fundamentalen Satz sehr rasch das hübsches Korrolar ab und betrachten Folgen z1,...,zM aus [-1 2,1 2]. Die charakteristische Funktion der Verteilung F(t) ist bekanntlich

∫ ∞ φ(x) = eixtdF (t) - ∞

Wir nominieren die Fouriertransformation der Punktmaße in z1,...,zM und der Gleichverteilung durch die Festlegung

α (x) = e2πixz1,...,e2πixzM = α (x) 1 M

bzw

∫ 12 φ (x ) = e2πixtdt = sinc(x) = sin(πx-) - 12 πx

mit sinc(0) = 1.

Sei φM(x) = (α1(x) + ... + αM(x))∕M. Es ergibt sich sofort: (zm)m ist genau dann gleichverteilt in [-12,12], wenn für alle x ∈ ℝ gilt

1 lim φM (x) = lim --(e2πixz1 + ...+ e2πixzM) = sinc(x ) M→ ∞ M → ∞ M

und die Konvergenz ist im Fall der Gleichverteilung kompakt. Die Totalvariation der Funktion exp(2πixt) ist

∫ 1 2 V ar(exp(2πixt )) = - 1|αexp (2 πixt)∕dt|dt = 2π |x |. 2

Aus der bekannten Abschätzung von Koksma ergibt sich für z1,...,zM ∈ [-1 2,1 2] und der Diskrepanz

1 D *M = sup |# (zm < a)∕M - (α + -)| - 12<α<12 2

die Abschätzung

1 |--(e2πixz1 + ...+ e2πixzM ) - sinc (x)|≤ 2π|x|D *M M

womit die Geschwindigkeit der kompakten Konvergenz im Fall der Gleichverteilung von (zm)m φ quantifiziert ist. Wählt man die diskrepanzoptimalen Stellen zM = (1 - 2m - M)∕2M,m = 0,...,M - 1, in [-1 2,1 2], so ist DM* = 1 2M-- und V DM* = 2π|x|D M* = 2πM∕2M = π für x = M und

M -1 -1- ∑ |M exp (2πiM zm ) - sinc (M )|= 1. m=0

Die gegebene Abschätzung ist also der Ordnung nach nicht verbesserbar.

Der Fehler

M∑ 1-- exp (2πizmt) - sinc(t) = RM (t) M m=1

lässt folgende Reihendarstellung zu:

Wegen

∑∞ exp(2πizt) = exp(2πikz )sinc (t - k) k=- ∞

gilt die Darstellung und Abschätzung von RM(t):

∑M |RM (t)| = |-1 exp (2 πizmt) - sinc(t)| M m=1

∑ 1 ∑M = | (--- exp (2πizmk ))- sinc(t - k)| k⁄=0 M m=1

M |sin(πt)| ∑ -1-∑ -(- 1)k * = π | (M exp(2πizmk ))(t - k)|≤ 2π |t|DM k⁄=0 m=1

wobei die Reihe nicht absolut konvergiert, jedoch für glv. (zm)m die Abweichung RM(t) in t ∈ ℝ kompakt gegen Null konvergiert.

Die Aussagen gelten sinngemäß auch für den Torus [-1 2,1 2)s.


Literatur:

Renyi, Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kuipers-Niederreiter, Uniform Distr. of Sequences