Der Zusammenhang zwischen Verteilungsfunktionen und ihren charakteristischen
Funktionen (Fourier-Transf.) ist gut bekannt. Es gilt z.B. der bekannte Satz:
Die Verteilungsfunktionen FM(t),M = 1, 2,..., konvergieren genau dann gegen eine Verteilungsfunktion F(t) an jeder Stetigkeitsstelle von F(t), wenn die charakteristischen Funktionen φrα(x) gegen ein φ(x) konvergieren, welches bei x = 0 stetig ist. In diesem Fall ist φ(x) die F.T. von F(t) und die φn(x) konvergieren kompakt gegen φ(x).
Wir leiten aus diesem fundamentalen Satz sehr rasch das hübsches Korrolar ab
und betrachten Folgen z1,...,zM aus [-,
]. Die charakteristische Funktion der
Verteilung F(t) ist bekanntlich
Wir nominieren die Fouriertransformation der Punktmaße in z1,...,zM und der Gleichverteilung durch die Festlegung
bzw
mit sinc(0) = 1.
Sei φM(x) = (α1(x) + ... + αM(x))∕M. Es ergibt sich sofort: (zm)m ist genau dann
gleichverteilt in [-,
], wenn für alle x ∈ ℝ gilt
und die Konvergenz ist im Fall der Gleichverteilung kompakt. Die Totalvariation der Funktion exp(2πixt) ist
Aus der bekannten Abschätzung von Koksma ergibt sich für z1,...,zM ∈ [-,
]
und der Diskrepanz
die Abschätzung
womit die Geschwindigkeit der kompakten Konvergenz im Fall der Gleichverteilung
von (zm)m φ quantifiziert ist. Wählt man die diskrepanzoptimalen Stellen
zM = (1 - 2m - M)∕2M,m = 0,...,M - 1, in [-,
], so ist DM* =
und
V DM* = 2π|x|D
M* = 2πM∕2M = π für x = M und
Die gegebene Abschätzung ist also der Ordnung nach nicht verbesserbar.
Der Fehler
lässt folgende Reihendarstellung zu:
Wegen
gilt die Darstellung und Abschätzung von RM(t):
wobei die Reihe nicht absolut konvergiert, jedoch für glv. (zm)m die Abweichung RM(t) in t ∈ ℝ kompakt gegen Null konvergiert.
Die Aussagen gelten sinngemäß auch für den Torus [-,
)s.
Renyi, Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kuipers-Niederreiter, Uniform Distr. of Sequences