W. Fleischer führte in [1] den Begriff des Diskrepanz-Operator in kompakten Räumen ein. Die Vorgangsweise ist: Sei X ein kompakter Raum mit abzählbarer Basis, C(X) der mit der uniformen Norm vollständige Raum der stetigen Funktionen über X mit B ein seperabler normierter Raum. Sei T ein beschränkter Operator von B nach C(X) und (x_n)_n eine Folge in X. Sei μ ein Wahrscheinlichtkeitsmaß auf X und

für f ∈ B. Dann ist L_N ∈ B^*.

Für f ∈ L₁[0, 1] und (Tf)(x) = ∫ ₀¹C _(0,y)(x)f(y)dy erhält man die klassische Diskrepanz einer Folge (x_n)_n aus [0, 1], was sofort auf [0, 1)^s ausgedehnt wird. In Zinterhof[3] wurde der Begriff der Diaphonie einer Folge (x_n)_n aus [0, 1) eingeführt:

Sei m = max(1,|m|),m ∈ ℤ und k(x) = (1-+(1-2{x})²,x = ⌊x⌋+{x},⌊x⌋∈ ℤ,{x}∈ [0, 1). Dann gilt

Offensichtlich gilt: (x_n)_n ist gleichverteilt in [0, 1), genau wenn lim _N→∞F_N = 0 gilt. Die Verallgemeinerung auf [0, 1)^s liegt auf der Hand. Die Diaphonie einer Folge (x_n)_n ist eng verwandt mit der L₂-Diskrepanz und wurde von einigen Autoren studiert, da sie z.B. direkten Bezug auf die trigonometrischen Summen nimmt.

Wir betrachten nun diese Konzepte auf der hinreichend reichhaltigen Struktur der kompakten abelschen Gruppen und erhalten eine Reihe von qualitativen und auch quantitativen Ergebnissen. Hilfsmittel sind die Faltungsoperatoren auf L₂(G).

Es gilt das

Es ist nur zu zeigen, daß aus ||l(x - t) - l(y - t)||_p = 0 folgt, daß x = y. Die Fouriertransformierte von l(x - t) - l(y - t) lautet (γ)(γ(x) -γ(y)) für die nicht trivialen Charaktere γ ∈Ĝ und verschwindet für den trivialen Charakter. Es folgt (γ)(γ(x) - γ(y)) = 0 für alle γ ∈Ĝ. Wegen (γ)≠0 folgt γ(x) = γ(y) für γ ∈Ĝ, also ist x = y. Sei nun d(⋅,⋅) eine translationsinvariante Metrik. Wir benötigen approximierende Einheiten in folgender Form:

Ein wichtiges Beispiel ist der Kern s_ϵ(x) = 1∕μ_ϵ für x ∈ U_ϵ(0), wobei U_ϵ(0) = {x : d(x, 0) < ϵ} mit einer translationsinvarianten Metrik d(⋅,⋅) und μ_ϵ = μ(U_ϵ) ⋅ s_ϵ(x) = 0 für xU_ϵ(0).

Bekanntlich gilt der Satz:

Für spätere Zwecke wird ein Beweis gegeben:

Die zulässigen Funktionen führen zu zulässigen Metriken. Es gilt nämlich der Satz:

Sei g(x) = (Tf)(x) = ∫ _Gf(t)l(x - t)dt, dann ist g(x) ∈ C(G). Für x₁…,x_N ∈ G gilt weiters für

da l(x) zulässig ist.

Es gilt offensichtlich der Sachverhalt:

Wir beweisen nun den folgenden Satz

Satz 3. Die Folge (x_n)_n aus G ist genau dann gleichverteilt, wenn

Beweis. Falls (x_n)_n gleichverteilt ist, gilt lim _N→∞L_N(f) = 0 für jedes f(x) ∈ L_q, da (Tf)(x) = g(x) ∈ C(G). Gilt umgekehrt lim _N→∞L_N(f) = 0 für jedes
f(x) ∈ L_q, so gilt wegen γ ∈ L_q(G) auch

Da (γ)≠0, folgt aus dem Weyl’schen Kriterium, daß (x_n)_n gleichverteilt ist. Der Operator T ist als Faltungsoperator kompakt, also ist auch
L_N : L_q → C(G) kompakt. Falls also (x_n)_n gleichverteilt ist, konvergiert L_N(f) gleichmäßig auf {f : ||f||_q ≤ 1} gegen Null. Also gilt

Falls lim _N→∞||L_N|| = 0, ist (x_n)_n offensichtlich gleichverteilt. __

Weiters folgt unmittelbar die Abschätzung

Dieses Resultat der Qualititativen Theorie wird später durch die Angabe von (x_n)_n und durch Quasimontecarlo-Methoden auch durch quantitative Abschätzungen konkretisiert werden. Da wir mit Harmonischer Analyse auf kompakten abelschen Gruppen formulieren, nennen wir ||L_N|| die Dissonanz der Folge x₁,…,x_N, um Kollisionen mit dem Begriff Diskrepanz zu vermeiden. Wir stellen nun den folgenden Zusammenhang zwischen Gleichverteilung und Approximativen Einheiten her:

Satz 4.

Ist (a_ϵ(x))_ϵ>0 eine Approximative Einheit für C(G), so ist die Folge (x_n)_n genau dann gleichverteilt in G, wenn für jedes ϵ > 0 gilt:

Beweis. Sei (x_n)_n gleichverteilt in G. Für jedes ϵ > 0 ist der Operator (Tf)(x) = g(x) = (f * a_ϵ)(x) ein kompakter Operator C(G) → C(G). Es gilt lim _N→∞ ∑ _n=1^Ng(x _n) = ∫ _Gg(x)dx = ∫ _Gf(x)dx = lim _N→∞ ∑ _n=1^Nf(x _n) und L_N(f) = ∑ _n=1^N(Tf)(x _n)-∫ _G(Tf)(x)dx = ∑ _n=1^N ∫ _Ga_ϵ(x_n-t)f(t)-∫ _G ∫ _Ga_ϵ(x-t)f(t)dt = ∑ _n=1^N(a _ϵ(x_n-t)- 1)f(t)dt.

Somit gilt lim _N→∞L_N(f) = 0 und für jedes f ∈ C(G).

|L_N(f)|≤ (∫ _G| ∑ _n=1^Na _ϵ(x - t) - 1|dt)||f||_u,L_N = L_N,ϵ.

Die Norm von L_N ist ||L_N|| = sup _||f||u≤1|L_N(f)| = ∫ _G|  ∑ _n=1^Na _ϵ(x_n - t) - 1|dt. Da T : f → Tf kompakt ist, konvergiert für ||f||_u ≤ 1 die Größe L_N(f) gleichmäßig gegen Null. Also gilt im Falle der Gleichverteilung der Folge (x_n)_n für jedes G > 0 :

Wir setzen nun umgekehrt voraus, daß für die Folge (x_n)_n gilt: für jedes ϵ > 0 ist lim _N→∞||L_N|| = 0. Es folgt sofort für g = Tf und jedes ϵ > 0

Da (a_ϵ(x))_ϵ>0 eine Approximierende Einheit ist, gilt

wobei ω(α; f) = sup _d(0,t)<α|f(x) -f(x-t)| = sup _d(x,x-t)<α|f(x) -f(x-t)| der Stetigkeitsmodul von f(x) bezüglich der translationsinvarianten Metrik d(⋅,⋅) ist; weiters ist P(ϵ,α) = ∫ _G-Uα(0)|a_ϵ(t)|dt, wobei für α > 0 gilt lim _ϵ→0P(ϵ,α) = 0. Also gilt

Sei α so klein, daß ω(α; f) < δ und ϵ so klein, daß P(ϵ,α) < δ. Sei N₀ in Abhängigkeit von α und ϵ(α) so groß, daß (∫ |   ∑ _n=1^Na _ϵ(x_n-t)-1|dt) < δ für N > N₀(α,ϵ(α)). Dann ist

Also gilt für jedes f(x) ∈ C(G): lim _N→∞| ∑ _n=1^Nf(x _n) -∫ _Gfdx| = 0. Damit ist der Satz bewiesen. __

Die ||L_N,ϵ|| = = D_N(a_ϵ) hängen von der Punktfolge x₁,…,x_N ∈ G und von a_ϵ(⋅) ab. Es ist nützlich zu definieren:

Für f(⋅) ∈ C(G) gilt also

Diese Abschätzung berücksichtigt also den Stetigkeitsmodul w(α; f) bezüglich der translationsinvarianten Metrik d(⋅,⋅), das Verhalten des Kernes a_ϵ(⋅) bezüglich P(ϵ,α) und die Dissonanz der Punkte {x₁,…,x_N} bezüglich des Kernes a_ϵ(⋅).

Ist der Kern (a_ϵ(⋅))_ϵ>0 gleich dem Steklow-Kern s_ϵ(x),

so reduziert sich die Abschätzung für f ∈ C(G),ϵ ≤ α, auf

da ja für ϵ ≤ α gilt: ∫ _G-Uα(0)s_ϵ(x)dx = 0.

Wir verwenden nun dieses Konzept, um mit den Steklow-Kernen s_ϵ(x) bezüg- lich einer translationsinvarianten Metrik d(⋅,⋅) auf G weitere Verteilungsgrößen für Folgen (x_n)_n zu definieren, die auch konkrete quantitative Ab- schätzungen zulassen:

Sei χ_ϵ(x) die Indikatorfunktion der U_ϵ(0) = {x : d(x, 0) < ϵ}, wobei d(⋅,⋅) eine translationsinvariante Metrik auf G ist. Sei μ_ϵ = μ(U_ϵ(0)) das Haarmaß von U_ϵ(0). Dann ist s_ϵ(x) = χ_ϵ(x)|μ_ϵ. Sei d = max _xd(x, 0) und

Es gilt der Satz:

Beweis. Sei (x_n)_n gleichverteilt. Dann gilt ja für d ≥ ϵ > 0

lim _N→∞∫ _G| ∑ _n=1^Ns _ϵ(x_n -t)-1|dt = lim _N→∞∫ _G|  ∑ _n=1^Nχ _ϵ(x_n - t) - μ_ϵ|dt.

  Für d ≥ ϵ₁,ϵ₂ > 0 gilt mit der Dreiecksungleichung für L₁(G):

__

Also gilt das Lemma

Lemma 2. Ist d ≥ ϵ₁,ϵ₂ > 0 so gilt

Sei nun ϵ_k = d ⋅ (  + ),k = 1,…,M - 1. Betrachte die Intervalle I_k = (ϵ_k -,ϵ_k + ] = (,],k = 1,…,M - 1 und I₀ = (0,]. Da das Haarmaß regulär ist und jedes ϵ, 0 < ϵ ≤ d, in genau einem I_k liegt, kann M so groß gewählt werden, daß |μ_ϵ - μ_ϵk| < ϵ ist, M = M(δ),ϵ ∈ I_k,k = k(ϵ). Da weiters für jedes ϵ, 0 < ϵ ≤ d, gilt

gibt es ein N(δ), sodaß für alle N > N(δ),k = 1,…,M - 1, gilt

Dann ist für ϵ ∈ I_k nach dem Lemma

Für ϵ ∈ I₀ gilt ebenfalls für N > N(δ)

Also gilt für jedes ϵ : 0 < ϵ ≤ d und alle N > N(δ) :

Damit ist lim _N→∞E_N = 0 bewiesen. Ist umgekehrt lim _N→∞E_N = 0, so folgt sofort lim _N→∞∫ _G| ∑ _n=1^Nχ _ϵ(x_n -t) -μ_ϵ|dt = 0 für jedes 0 < ϵ ≤ d, woraus die Gleichverteilung von (x_n)_n folgt. Damit ist der Satz bewiesen. Offensichtlich gilt für x₁,…,x_N der Satz:

Satz 6.

Ist x₁,…,x_N beliebig in G, dann gilt für 0 < ϵ ≤ d

Die Größe E_N hängt von der gewählten translationsinvarianten Metrik d(⋅,⋅) wesentlich ab, da ja μ_ϵ = μ({x : d(x, 0) < ϵ}) von d(⋅,⋅) abhängt. Ein konkretes Beispiel: Sei G = [0, 1)^s modulo 1. Sei d(x,y) = max _i=1,…,s << x_i - y_i >>, wobei << t >> der Abstand von t zur nächsten ganzen Zahl ist. Sei D_N die klassische Diskrepanz der x₁,…,x_N ∈ [0, 1)^s :

Dann gilt für die Metrik d(⋅,⋅):

wobei I alle Intervalle I = ∏ _i=s^s[a _i,b_i) ⊆ [0, 1)^s durchläuft.

Es gilt also der Satz:

Sei nun G wieder eine kompakte abelsche Gruppe mit der translationsinvarianten Metrik d(⋅,⋅) und δ_N = max _x min _n=1,…,Nd(x_n,x) für x_n,n = 1,…,N. δ_N werde bei x = y₀ angenommen. Dann ist U_δN(y₀) = {t : d(y₀,t) < δ_N} die größte offene Kugel, die kein x_n,n = 1,…,N, enthält. Sei d = δ_N∕2. Dann ist für d(t, 0) < α stets x_nU_α(y₀). Also gilt die Abschätzung nach unten :

Das ergibt den Satz:

Ein Extrembeispiel: Die Punkte x₁ = x₁ = … = x_N haben auf [0, 1)^s offensichtlich die Diskrepanz D_N = 1. Sei nun x₁ = x₁ = … = x_N ∈ G, G beliebig kompakt und abelsch, dann ist für ϵ > 0

Die Funktion 2x(1 - x) nimmt das Maximum in 0 ≤ x ≤ 1 bei x = 1∕2 an, sodaß gilt E_N = sup _0<ϵ≤d = 1∕2

Sei nun wieder l(x) ∈ L₁(G) zulässig, d.h. (γ)≠0, für γ ∈Ĝ und (e) = 1 für den trivialen Charakter e ∈Ĝ. Sei l(x) ∈ C(G), dann gilt der Satz

Beweis.

Falls (x_n)_n gleichverteilt ist, gilt wegen der Stetigkeit von (Tf)(x), daß
 lim _n→∞L_N(f) = 0 für jedes f ∈ L₁(G). Da T ein kompakter Operator ist, gilt lim _n→0||L_N|| = lim _{sup||f||u≤1}|L_N(f)| = 0. Gilt umgekehrt lim _n→∞||L_N|| = 0, dann folgt lim _n→∞|L_N(f)| = 0 für jedes f ∈ L₁, speziell für f(x) = γ(x),γ(x) ∈ Ĝ. Nun ist (Tγ)(x) = γ(x) * l(x) = (γ)γ(x) und lim _N→∞L_N(γ) = lim _N→∞ (γ) ∑ _n=1^Nγ(x _n) = 0 für γ≠l und = 1 für γ = l. __

Wegen (γ)≠0 ist nach dem Weyl’schen Kriterium alles gezeigt.

Offensichtlich ist ||L_N||≤|| ∑ _n=1^Nl(x _n - t) - 1||_u.

Wir behandeln nun die Frage, wann die Abschätzung

scharf ist und geben auf der Basis des Satzes von James eine hinreichende Bedingung. Der Satz von James über die Reflexivität von Banachräumen lautet:

Es folgt der Satz:

Im Fall l(x) ∈ L₁(G),f(x) ∈ L_∞(G), ist der Operator Tf = f * l bei festem Kern l ∈ L₁(G) stetig und kompakt. Falls l(X) ∈ L₁ zulässig ist, gilt wieder |L_N(f)|≤||L_N||||f|| und lim _n→∞||L_N|| = 0 genau, wenn (x_n)_n gleichverteilt ist. Da L_∞(G) nicht reflexiv ist, bleibt offen, ob es ein f_N(x) ∈ L_∞ gibt, sodaß ||L_N|| = L_N(f_N) ist, ||f_N||_∞ ≤ 1.

Besonderes Interesse findet der Fall p = q = ,l(x) ∈ L₂,f(x) ∈ L₂. Dann ist l(x) ∈ L₁(G) und f(x) ∈ L₁(G). Dann ist

Wir nennen F_N die zum Kern l(x) ∈ L₂(G) gehörige Diaphonie der Folge x₁,…,x_N. Ist nun spezieller f(x) ∈ L_∞(G), so ist mit g = f *l,f ∈ L_∞,l ∈ L₂ fest, | ∑ _n=1^Ng(x _n)-∫ _Gg(x)dx|  ≤||f||_∞||  ∑ _n=1^Nl(x _n-t)-1||₁ ≤||f||_∞F_N = ||f||_∞|| ∑ _n=1^Nl(x _n-t)-1||₂, da ja auf G stets ||⋅||₁ ≤||⋅||₂.

Es gilt also der Satz

Satz 12. Ist g(x) = (f * l)(x),f ∈ L_∞,l ∈ L₂, so ist

Ein Beispiel auf [0, 1)^s : Sei für m ∈ ℤ m = max(1,|m|) und = (m ₁,…,m_j), = (x₁,…,x_s), ∈ ℤ^s, ∈ [0, 1)^s modulo 1. Sei R() = m ₁,m₂,…,m_s.

Sei

Die Fourierreihe von l() ist

Da l() für ∈ ℤ^s logarithmische Singularitäten hat, ist l() ∈ L _p([0, 1)^s) für p ≥ 1, jedoch l()L_∞([0, 1)^s). Offensichtlich ist l() zulässig, da ()≠0, () = 1. l() ist auch positiv definit nach Bochner. l() wurde von Korobow verwendet, um Diskrepanzabschätzungen und Bedingungen für seine optimalen Gitter zu beweisen [4]. Wir definieren wegen der Verwendung des Logarithmus bei l()

Wir nennen die p-Logophonie auch LPH_p,N bzw LPH_N

mit l() = ∏ _j=1^s(1 - 2log(2sinπx _j)),x₁,…,x_N ∈ [0, 1)^s

Da auf kompakten abelschen Gruppen für 1 ≤ r ≤ p ≤∞||⋅||_r ≤||⋅||_p gilt, ist auch LPH_r,N ≤ LPH_p,N für 1 ≤ r ≤ p < ∞.

Es folgt sofort der Satz

Satz 13. (x_n)_n ist gleichverteilt in [0, 1)^s genau dann, wenn

für ein beliebiges 1 ≤ p < ∞

Es ist gut bekannt, daß für die optimalen Koeffizienten im Sinne Korobows bzw die guten Gitterpunkte im Sinne Hlawkas, (a₁,…,a_j) bzw x_n = (a₁,…,a_j) ⋅,n = 1,…,N, gilt

wobei die Existenz eines solchen β > 0 ein Optimalitätskriterium ist.

Wir wenden nun die Interpolierte Hölder-Ungleichung auf || ∑ _n=1^Nl(x _n - t) - 1||_p,l(x) ∈ L_p(G) an. Sei l(x) zulässig und x₁,…,x_N ∈ G. Sei f(x) ∈ L_p(G), 1 ≤ q < r < p, θ = , 1 - θ = . Es gilt L_p(G) ⊆ L_r(G) ⊆ L_q(G) ⊆ L₁(G), da auf der kompakten Gruppe G gilt ||f||₁ ≤||f||_q ≤||f||_r ≤||f||_p.

Dann gilt die Interpolierte Höldersche Ungleichung, angewendet auf den zulässigen Kern l(x) ∈ L_p(G), 1 ≤ p < ∞:

Satz 15. Für die Fehlernorm ||  ∑ _n=1^Nl(x _n - t) - 1||_r,q ≤ r ≤ p, gilt

Falls nun die Folge (x_n)_n in G gleichverteilt ist und l(x) ∈ L_p(G), 1 ≤ p < ∞, ist lim _n→∞|| ∑ _n=1^Nl(x _n - t) - 1||_p = 0. Wegen ||⋅||_s ≤||⋅||_p, folgt sofort für 1 ≤ s ≤ p : Ist (x_n)_n gleichverteilt, so gilt

Also gilt der Satz:

Sei nun l(x) ∈ L_p(G) für alle p ≥ 1, also l(x) ∈∩_p≥1L_p(G). Das bedeutet nun, daß l(x) in diesem Sinne höchstens ’ schwach singulär’ ist, i.A. ist jedoch l(x)L_∞(G). Darum gilt für beliebige 1 ≤ q < r < p < ∞ wieder

mit θ = , 1 - θ = . Von speziellem Interesse ist der Fall q = 1,r = 2. Sei ϵ < 1∕2, dann ist θ = 1∕2 - ϵ, 1 - θ = 1∕2 + ϵ. Es gilt also hier für p = 1 + :

Es folgt wie oben der Satz

Wir konkretisieren nun diese für G gültige Abschätzung für
G = [0, 1)^s mod 1 und l(x) = l(x ₁,…,x_j) = ∏ _j=1^s(1 - 2ln(2sinπx _j)). l(x) hat bei x_j ∈ ℤ logarithmische Singularitäten, sodaß für p ≥ 1 auch ||l(x)||_p < ∞,l(x)L_∞([0, 1)^s). Wir schätzen nun ||l(x)|| _p für p ≥ 1 nach oben ab.

Wir verwenden dann Γ(p + 1) = ∫ ₀¹(ln)^pdt und die Stirlingsche Formel Γ(x) = ()^xe^μ(x), 0 < μ(x) < 1∕(12x).

Sei << x >> der Abstand von x zur nächsten ganzen Zahl. Für t ∈ (0,) gilt t ≤ sinπt, also gilt für x ∈ (0, 1) << t >>≤ sinπt und ≤, also 0 ≤ ln ≤ ln. Unter Benützung der Γ-Funktion und der Stirlingschen Formel gilt ||1-2ln(2sinπt)||_p ≤ 1+2||ln2+ln(sinπt)||≤ 1+2ln2+2||ln(sinπt)||_p = 1+2ln2+2||ln||_p ≤ 1+2ln2+2||ln||_p = 1+2ln2+2^1∕p ≤ 1+2ln2+2 = 1 + 2ln2≠2 ⋅ π^1∕pΓ(p + 1)^1∕p = 1 + 2ln2 + 2 ⋅ 2 ()^1∕p() (p + 1) e^μ(p+1)∕p. Für p ≥ 1 gilt 2^1+1∕p ≤ 4, ()^1∕p ≤ 2, () < .

Da ln(x+1)∕x für x > 0 fallend ist, gilt (p+1) = (p+1)e^ln(p+1)∕p ≤ (p+1)e^ln2 = (p+1)⋅2. Zuletzt ist 0 < μ(p + 1) < 1∕12(p + 1) ≤ 1∕24, also e^μ(p+1)∕p ≤ exp(1∕(12(p + 1)p)) < exp(1∕24) < e.

Schließlich ist ||1 - 2ln(2sinπt)||_p ≤ 1 + 2ln2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 1∕l(p + 1) ⋅ 2 ⋅ l =1 + 2ln2 + 8(p + 1) = 1 + 2ln2 + 8 + 8p = (8 + (1 + 2ln2 + 8)∕p)p ≤ (17 + 2ln2)p < 20p.

Es gilt also das Lemma:

Folgerung: Nach dem Satz von Fubini gilt für

Wir hatten im obigen Satz auf G die Konstante C(ϵ) = ||l(t) - 1||_p^1∕2+ϵ mit p = 1 + . Also gilt

für ϵ < .

Also gilt als Spezialisierung des obigen Satzes auf G für G = [0, 1)^s und l(x) = ∏ _j=1^s(1 - 2ln(2sinπx _j)) der Satz über die klassische Diaphonie:

Wir betrachten nun das folgende Seitenstück auf G, der konpakten Abelschen und seperablen Gruppe:

Sei l(x) ∈ C(G) und l(x) zulässig. Der Operator T lautet hier z.B. für f ∈ L, (G) : (Tf)(x) = (f * l)(x).

Da (Tf)(x) stetig ist und l(x) ∈ C(G) zulässig ist, folgt sofort der Satz:

Satz 19. Die Folge (x_n)_n aus G ist gleichverteilt, wenn

Bemerkung 3. l(x) ∈ L_∞(G) ist eine zu schwache Voraussetzung, um Gleichverteilungsaussagen zu machen. Für l(x) ∈ C(G) können wir die interpolierte Hölderungleichung anwenden: Sei wieder x₁,…,x_N ∈ G und l(x) ∈ C(G), sowie 1 ≤ q < r < p. Sei θ(p) = , 1 - θ(p) = . Es gilt für p ≥ 1 :

also

Man sieht sofort, daß θ(p) ↓, 1 - θ(p) ↑ 1 -.

Also gilt mit p →∞

Man kann || ∑ _n=1^Nl(x _n - t) - 1||_u als maximale l-Diaphonie bezeichnen.

Es gilt wieder der Satz:

Für q = 1,r = 1 bedeutet dies

Wir beweisen nun einige quantitative Fehlerabschätzungen für monothetische Gruppen. Eine topologische Gruppe heißt monothetisch, wenn es eine Folge (aⁿ) _n,a ∈ G, gibt, die dicht in G ist. Es ist bekannt, daß monothetische Gruppen abelsch sind. Die einzige nicht kompakte monothetische lokal-kompakte Gruppe ist ℤ. Das Element θ ∈ G heißt Generator von G, wenn die Folge (nθ)_n∈N bzw. (gθ)_g∈ℤ dicht in G ist. Wir beweisen das folgende gut bekannte Lemma:

Beweis. Sei γ ein nicht trivialer Charakter von G, dann ist γ(θ)≠1. Wäre nämlich γ(θ) = 1, so wäre γ(nθ) = γⁿ(θ) = 1 für alle n ∈ ℕ. Also wäre γ = 1 auf einer in G dichten Menge, also wäre γ der triviale Charakter. Daraus folgt für jeden nicht trivialen Charakter γ:

__

Die monothetischen Gruppen besitzen eine einfache Charkterisierung über die duale Gruppe: Die kompakte abelsche Gruppe G ist genau dann monothetisch, wenn Ĝ eine Untergruppe der diskretisierten Gruppe des Einheitskreises ist.

In diesem Kontext ist für monothetische Gruppen sowohl Kuipers-Niederreiter [5] als auch Rudin [6] eine gute Referenz.

Eine kompakte abelsche Gruppe ist genau dann zusammenhängend, wenn sie keinen nichttrivialen diskreten Charakter besitzt. Der Charakter γ ∈Ĝ heißt diskret, wenn γ(G) eine diskrete Unterruppe von {z : |z| = 1} ist. Jede kompakte, separable und zusammenhängende Gruppe ist monothetisch. In diesem Fall sind die nichttrivialen Charaktere γ ∈Ĝ maßtreue Abbildungen von G nach {z : |z| = 1}. Sei also G kompakt, seperabel und zusammenhängend. Es gilt der Satz:

Satz 21. Ist die Fourierreihe von f(x) : G → ℂ absolut konvergent, so gibt es zu jedem N ∈ ℕ ein x(N) ∈ G, sodaß gilt:

Wobei ∑ ′ die Summation über alle nichttrivialen Chaktere bedeutet.

Beweis. Für A,B > 0 gilt min(A,B)≤ 2AB∕(A+B). Sei γ ein nicht trivialer Charakter. Es gilt für x ∈ G : |∑ _n=0^N-1γ(x)ⁿ|≤ N = A und für γ(x)≠1

__

Also gilt für x ∈ G

Da G zusammenhängend ist und γ nicht trivial ist, ist γ maßtreu. T = {z : |z| = 1} = {e^2πiφ, ≤ φ < }. Es ist |1-z| = |1-e^2πiφ| = 2| sin πφ|≥ 4 << φ >>, wobei z = γ(x) gesetzt ist. Also ist

Also gilt

für jeden nicht trivialen Charakter p ∈Ĝ. Sei nun f(x) = ∑ _p (p)γ(x) und sei ∑ _γ′| (γ)| < ∞. Dann ist

Dieser Satz läßt sich für eine Teilmenge der absolut konvergenten Fourierreihen wesentlich verschärfen. Wir beweisen zunächst folgendes Lemma:

Beweis. Sei wieder für z₁ = e^2πiφ₁,z ₂ = e^2πiφ₂ die Metrik d(z ₁,z₂) =<< φ₁ - φ₂ >> . Es ist mit z = e^2πiφ,-1∕2 ≤ φ < 1∕2, 4|φ|≤|z - 1|≤ 2π|φ|, also 4d(z, 1) ≤|z - 1|≤ 2πd(z, 1),d(z, 1) = |φ|. Sei nun γ_n,n = 1, 2,…, eine Abzählung der nicht trivialen Charaktere von G und A_n = {x : d(γ_n(x), 1) ≤ E_γn∕2}. Dann ist das Haar-Maß λ(A_n) = ϵ_pn mit ∑ ′_nλ(A_n) = ∑ _n′ϵ_pn < ∞.B = ∩_N≥1 ∪_n≥NA_n ist die Menge aller x ∈ G, die in unendlich vielen A_n liegen. Es gilt

Also liegen λ-fast alle x ∈ G in höchstens endlich vielen A_n,n ∈ ℕ. Für fast alle x ∈ G ist also stets d(γ(x), 1) > ϵ_γ∕2 für alle γ ∈Ĝ, abgesehen von jeweils endlich vielen und von x abhängigen Ausnahmen γ ∈Ĝ. W.z.z.w. __

Seien folgende Funktionenklassen definiert:

A = {f(x) : ∑ _γ| (γ)| < ∞}; sei ϵ(x) = ∑ _γϵ_γγ(x) mit 0 < ϵ_γ,∑ _γϵ_γ < ∞. Sei A^(r) = {g(x) = f^*r(x),f ∈ A} = {g(x) = ∑ _γ( (γ))^rγ(x),f ∈ A} und sei A_ϵ^(r) = {g(x) = ∑ _γ( (γ))^rϵ _γ^rγ(x),f ∈ A},r = 1, 2,…

Diese auf kompakten abelschen Gruppen definierten Funktionenklassen sind ähnlich den auf [0, 1)^s definierten Korobow’schen Funktionenklassen E _α^s(C) [4].

Wir definieren nun die Gewichte ρ_n^N,r,n = 0,…,N - 1 gemäß [3] durch die Gleichung

oder durch

Dann ist im ersten Fall für g ∈ A^(r) oder g ∈ A _ϵ^(r)

wobei ∑ _γ′|ĝ(γ)|^1∕r < ∞.

Sei nun g(x) ∈ A^(r). Dann existiert gemäß einem vorangegangen Satz zu jedem N ein x(N) in der kompakten, separablen und zusammenhängenden Gruppe G, sodaß

Es gilt also der Satz

Satz 22. Ist G kompakt, separabel und zusammenhängend, und ist g(x) ∈ A^(r), so gibt es zu jedem N = 1, 2,… ein x(N), sodaß

Sei nun g(x) aus der kleineren Funktionenklasse A_ϵ^(r).

Dann folgt unmittelbar wegen des vorangegangen Lemmas:

für fast alle x ∈ G. Es gilt also der Satz:

Satz 23. Ist G kompakt, separabel und zusammenhängend, dann gibt es zu fast allen x ∈ G ein C(x), sodaß für g ∈ A_ϵ^(r)

gilt.

Diese Resultate sind hinsichtlich der Konvergenzordnung nicht verbesserbar.

Es gilt der Satz:

Satz 24. Ist G eine kompakte abelsche Gruppe, dann ist die Konvergenzordnung R_N = O() auf der Menge der (nicht trivialen) Charaktere nicht verbesserbar, wobei

ist.

Folgerung: Ist G auch zusammenhängend, so ist Ĝ ⊆ A_ϵ^(r) ⊆ A^(r). Also ist für r = 1, 2,… und falls γ(x)≠1 ist für gegebenes x≠0.

für unendlich viele N ∈ ℕ.

Bemerkung 6. Für r = 1, 2 lautet die Quadraturmethode auf der Klasse A^(r) bzw. A _ϵ^(r)

Für r = 1, 2,… ist die Komplexität der Berechnung O(r ⋅ N).

Nun eine Anwendung auf Hilberträume mit reproduzierendem Kern. Sei K(x,y),x,y ∈ E≠∅, positiv definit, d.h. es ist stets

Mit < K(x,y₁),K(x,y₂) >:= K(y₂,y₁) ensteht ein Prähilbertraum der Linearkombinationen der K(x,y_n),n = 1,…,N,N ∈ ℕ, der zu einem Hilbertraum von Funktionen vervollständigt wird. Dann ist f(y) =< (f(⋅),K(⋅,y) > und f → f(y) ein stetiges lineares Funktional über H. Falls K(⋅,⋅) stetig ist sind die f ∈ H stetig. Für jede Orthonormalbasis (φ_n)_n von H, der seperabel ist, gilt K(x,y) = ∑ _nφ_n(x)φ_n(y). Weiters gilt für f ∈ H : f(x) = ∑ _nφ_n(x) mit =< f,φ_n >, wobei ∑ _n| _n|² < ∞,∑ _n|φ_n(x)|² < ∞,x ∈ E. Klassische Referenzen sind [8], [9]. Sei nun l(x) ∈ L₂(G), also
(γ)≠0,∫ _Gl(x)dx = 1 und ϵ(x) = ∑ _γϵ_γγ(x) mit ∑ _γϵ_γ < ∞,ϵ_γ > 0, ∫ _Gϵ(x)dx = 1. Sei k(x) = l(x) *l(-x) * ϵ(x) *ϵ(-x). Dann gilt
k(x) = ∑ _γ (γ) * (γ)ϵ_γϵ_γγ(x) und

ist ein pos. def. Kern K(x,y) auf G x G, wobei φ_γ(x) = ⋅ ϵ_γγ(x) gesetzt wurde. H = {f(x) = ∑ _γφ_γ(x),∑ _γ| _γ|² < ∞}.

Es ist ∫ _Gf(x)dx =< f(x), 1 >= , mit 1 als trivialem Charakter. Dann gilt für f ∈ H und x₁,…,x_N ∈ G :

mit

Es gilt der einfache Satz:

Dann gilt:

für fast alle x ∈ G. Es gilt also der Satz:

Satz 26. Ist G kompakt, separabel und zusammenhängend, abelsch, so gilt R_N(f) ≤|| f||F_N für f ∈ H und für fast alle x ∈ G und x_n = nx,n = 0, 1, 2,…

Da H alle Charaktere enthält, läßt sich die Abschätzung von R_N(f) auf H hinsichtlich der Ordnung nicht verschärfen.

Literaturverzeichnis