Diaphonien auf kompakten abelschen Gruppen (I)

Peter Zinterhof sen., Salzburg

peter.zinterhof@sbg.ac.at

Keywords: Compact abelian groups, Discrepancies, Diaphonies, Numerical Integration, error estimation, Approximate Identities.

W. Fleischer führte in [1] den Begriff des Diskrepanz-Operator in kompakten Räumen ein. Die Vorgangsweise ist: Sei X ein kompakter Raum mit abzählbarer Basis, C(X) der mit der uniformen Norm vollständige Raum der stetigen Funktionen über X mit B ein seperabler normierter Raum. Sei T ein beschränkter Operator von B nach C(X) und (xn)n eine Folge in X. Sei μ ein Wahrscheinlichtkeitsmaß auf X und

            N∑
LN (f ) = 1--   (Tf )(xn ) - μ (Tf )
         N  n=1

für f B. Dann ist LN B*.

Definition 1. T heißt Diskrepanzoperator, falls (xn)n genau dann gleichverteilt zum Maß μ ist, wenn lim N→∞||LN|| = 0 gilt. ||LN|| heißt die Diskrepanz der Folge (xn)n zum Maß μ bezüglich T.

Für f L1[0, 1] und (Tf)(x) = 01C (0,y)(x)f(y)dy erhält man die klassische Diskrepanz einer Folge (xn)n aus [0, 1], was sofort auf [0, 1)s ausgedehnt wird. In Zinterhof[3] wurde der Begriff der Diaphonie einer Folge (xn)n aus [0, 1) eingeführt:

Sei m = max(1,|m|),m und k(x) = (1-π2
 6+π2
 2(1-2{x})2,x = x+{x},x⌋∈ ,{x}∈ [0, 1). Dann gilt

       ∑   -1-
k(x) =     m2 exp (2πimx )
       m ∈ℤ

Definition 2. FN = (12-
N n,m=1Nk(x n - xm) - 1)12, wobei gilt
FN = ( m0m12-|N1 m=1Nexp(2πimx n)|2)(12). F N werde Diaphonie der Folge
x1,…,xn genannt.

Offensichtlich gilt: (xn)n ist gleichverteilt in [0, 1), genau wenn lim N→∞FN = 0 gilt. Die Verallgemeinerung auf [0, 1)s liegt auf der Hand. Die Diaphonie einer Folge (xn)n ist eng verwandt mit der L2-Diskrepanz und wurde von einigen Autoren studiert, da sie z.B. direkten Bezug auf die trigonometrischen Summen nimmt.

Wir betrachten nun diese Konzepte auf der hinreichend reichhaltigen Struktur der kompakten abelschen Gruppen und erhalten eine Reihe von qualitativen und auch quantitativen Ergebnissen. Hilfsmittel sind die Faltungsoperatoren auf L2(G).

Definition 3. l(x) Lp(G), 1 p ≤ ∞, heißt zulässig, wenn ˆl 0 und Gl(x)dx = 1 ist.

Es gilt das

Lemma 1. Ist l(x) zulässig, so ist dp(x,y) = ||l(x-t)-l(y-t)||p, 1 p < eine Metrik auf G, die translationsinvariant ist.

Es ist nur zu zeigen, daß aus ||l(x - t) - l(y - t)||p = 0 folgt, daß x = y. Die Fouriertransformierte von l(x - t) - l(y - t) lautet ˆl (γ)(γ(x) -γ(y)) für die nicht trivialen Charaktere γ Ĝ und verschwindet für den trivialen Charakter. Es folgt ˆl(γ)(γ(x) - γ(y)) = 0 für alle γ Ĝ. Wegen ˆl (γ)0 folgt γ(x) = γ(y) für γ Ĝ, also ist x = y. Sei nun d(,) eine translationsinvariante Metrik. Wir benötigen approximierende Einheiten in folgender Form:

Definition 4. Sei (aϵ(x))ϵ>0 eine Familie von Funktionen aϵ(x) L1(G), sodaß gilt

1.
Gaϵ(x)dx = 1,
2.
G|aϵ(x)|dx M,
3.
zu jeder offenen Umgebung U(0) gibt es ein ϵ0 > 0, sodaß für 0 < ϵ < ϵ0(δ) und δ > 0, G-U(0)|aϵ(x)|dx < δ gilt.

Häufig werden app. Einheiten auch in der Form (an(x))n erklärt.

Ein wichtiges Beispiel ist der Kern sϵ(x) = 1∕μϵ für x Uϵ(0), wobei Uϵ(0) = {x : d(x, 0) < ϵ} mit einer translationsinvarianten Metrik d(,) und μϵ = μ(Uϵ) sϵ(x) = 0 für x∕∈Uϵ(0).

Bekanntlich gilt der Satz:

Satz 1. Ist (aϵ(x))ϵ>0 eine appr. Einheit und f(x) C(G), so gilt lim ϵ0||f(x) - (f(x) * aϵ)(x)||u = 0.

Für spätere Zwecke wird ein Beweis gegeben:

Beweis. Für x G gilt |f(x) - Gf(x - t)aϵ(t)dt| =| Uδ(0)(f(x) - f(x - t))aϵ(t)dt + G-Uϵ(0)(f(x) - f(x - t))aϵ(t)dt|≤
 sup d(0,t)|f(x) - f(x - t)|⋅ G|aϵ(t)|dt + 2||f||u G-Uδ(0)|aϵ(t)|dt
w(δ,f)M + 2||f||uP(ϵ,α), wobei

w(δ,f) = sup d(x,x-t)|f(x) - f(x - t)| der Stetigkeitsmodul von f C(G) ist und P(ϵ,δ) := G-Uδ(0)|aϵ(t)|dt mit lim ϵ0P(ϵ,δ) = 0 für δ > 0. __

Die zulässigen Funktionen führen zu zulässigen Metriken. Es gilt nämlich der Satz:

Satz 2. Ist l(x) Lp(G), 1 p < , zulässig, so erzeugt die Metrik dp(x,y) = ||l(x - t) - l(y - t)||p die Topologie der kompakten abelschen Gruppe G.

Beweis. dp(x, 0) = ||l(x + t) - l(t)||p. Die Funktion dp(x, 0) ist im Sinne der Gruppentopologie stetig: zu ϵ > 0 gibt es ein Uϵ(0), sodaß für x Uϵ(0) gilt dp(x, 0) < ϵ. Die Gruppentopologie ist also nicht gröber als die durch dp(,) erzeugte Topologie, die Hausdorff ist. Jede echte Vergröberung eines kompakten Hausdorff-Raumes ist nicht mehr Hausdorff. Also stimmt die von dp(x,y) erzeugte Topologie mit der Gruppentopologie überein. __

Definition 5. Sei l(x) Lp(G) und f(x) Lq(G), 1 p < ,1
p + 1
q = 1, dann nennen wir (Tf)(x) = f(x) * l(x) einen Diaphonie-Operator, falls l(x) zulässig ist. l(x) ist der Kern des Operators.

Sei g(x) = (Tf)(x) = Gf(t)l(x - t)dt, dann ist g(x) C(G). Für x1…,xN G gilt weiters für

            ∑N             ∫
L  (f ) = 1--   (Tf )(x  ) -   (T f)(x)dx
  N       N            n
            n=1            G

            N          ∫
         1--∑
LN (f ) = N     g(xn ) -   g(x)dx
            n=1        G

      N ∫                   ∫  ∫
  -1-∑
= N        f(t)l(xn - t)dt -   (   f(t)l(x -  t)dt)dx
     n=1G                   G  G

  ∫      (                    )
           1  ∑N
=    f(t)  ---   l(xn - t) - 1  dt,
  G        N  n=1

da l(x) zulässig ist.

Es gilt offensichtlich der Sachverhalt:

||LN || =  sup |LN (f)|
         ||f||δ≤1

Wir beweisen nun den folgenden Satz

Satz 3. Die Folge (xn)n aus G ist genau dann gleichverteilt, wenn

Nlim→∞ ||LN || = 0.

Beweis. Falls (xn)n gleichverteilt ist, gilt lim N→∞LN(f) = 0 für jedes f(x) Lq, da (Tf)(x) = g(x) C(G). Gilt umgekehrt lim N→∞LN(f) = 0 für jedes
f(x) Lq, so gilt wegen γ Lq(G) auch

                       ∑N              ∫
 lim  L  (p) =  lim  (-1-   (γ * l)(x ) -  (γ * l)(x)dx) =
N →∞   N      N →∞  N             n
                       n=1             G

        N          ∫
ˆ    1-∑
l(γ )(N     γ(xn ) -   γ(x)dx ) = 0.
       n=1         G

Da ˆ
l (γ)0, folgt aus dem Weyl’schen Kriterium, daß (xn)n gleichverteilt ist. Der Operator T ist als Faltungsoperator kompakt, also ist auch
LN : Lq C(G) kompakt. Falls also (xn)n gleichverteilt ist, konvergiert LN(f) gleichmäßig auf {f : ||f||q 1} gegen Null. Also gilt

Nli→m∞ (||fsu|p|≤1|LN (f)|) = Nli→m∞ ||LN || = 0.
        q

Falls lim N→∞||LN|| = 0, ist (xn)n offensichtlich gleichverteilt. __

Weiters folgt unmittelbar die Abschätzung

   ∑N          ∫
| 1-   g(xn) -    g(x)dx| ≤ ||f ||q||LN ||
 N n=1
               G

Dieses Resultat der Qualititativen Theorie wird später durch die Angabe von (xn)n und durch Quasimontecarlo-Methoden auch durch quantitative Abschätzungen konkretisiert werden. Da wir mit Harmonischer Analyse auf kompakten abelschen Gruppen formulieren, nennen wir ||LN|| die Dissonanz der Folge x1,…,xN, um Kollisionen mit dem Begriff Diskrepanz zu vermeiden. Wir stellen nun den folgenden Zusammenhang zwischen Gleichverteilung und Approximativen Einheiten her:

Satz 4.

Ist (aϵ(x))ϵ>0 eine Approximative Einheit für C(G), so ist die Folge (xn)n genau dann gleichverteilt in G, wenn für jedes ϵ > 0 gilt:

             ∑N
lim  ||1 - -1-   a ϵ(xn - t)||1 = 0
N→ ∞      N  n=1

Beweis. Sei (xn)n gleichverteilt in G. Für jedes ϵ > 0 ist der Operator (Tf)(x) = g(x) = (f * aϵ)(x) ein kompakter Operator C(G) C(G). Es gilt lim N→∞1-
N n=1Ng(x n) = Gg(x)dx = Gf(x)dx = lim N→∞1-
N n=1Nf(x n) und LN(f) = 1-
N n=1N(Tf)(x n)- G(Tf)(x)dx = -1
N n=1N Gaϵ(xn-t)f(t)- G Gaϵ(x-t)f(t)dt = 1-
N n=1N(a ϵ(xn-t)- 1)f(t)dt.

Somit gilt lim N→∞LN(f) = 0 und für jedes f C(G).

|LN(f)|≤ ( G|1-
N n=1Na ϵ(x - t) - 1|dt)||f||u,LN = LN,ϵ.

Die Norm von LN ist ||LN|| = sup ||f||u1|LN(f)| = G| -1
N n=1Na ϵ(xn - t) - 1|dt. Da T : f Tf kompakt ist, konvergiert für ||f||u 1 die Größe LN(f) gleichmäßig gegen Null. Also gilt im Falle der Gleichverteilung der Folge (xn)n für jedes G > 0 :

 lim   sup  |L  (f )| =  lim  ||L   || = 0.
N → ∞ ||f||u≤1   N       N →∞    N

Wir setzen nun umgekehrt voraus, daß für die Folge (xn)n gilt: für jedes ϵ > 0 ist lim N→∞||LN|| = 0. Es folgt sofort für g = Tf und jedes ϵ > 0

  1 ∑N          ∫              1
|---   g (xn) -   g(x)dx | = | (--lNi→m∞ aϵ(xn -  t) - 1) * f (t)|
 N  n=1         G              N

   (                             )
     ∫
≤  (   | -1-lim  a (x -  t) - 1|dt) ⋅ ||f|| = ||L  || ⋅ ||f||
         N  N→ ∞  ϵ  n                  u      N,ϵ       u
     G

Da (aϵ(x))ϵ>0 eine Approximierende Einheit ist, gilt

||f(x) - g(x)||u = ||f (x) - (T f)(x)||u = ||f(x) - aϵ(x) * f(x )||u

≤ w (α;f ) ⋅ M + 2 ||f||uP (ϵ,α),

wobei ω(α; f) = sup d(0,t)|f(x) -f(x-t)| = sup d(x,x-t)|f(x) -f(x-t)| der Stetigkeitsmodul von f(x) bezüglich der translationsinvarianten Metrik d(,) ist; weiters ist P(ϵ,α) = G-Uα(0)|aϵ(t)|dt, wobei für α > 0 gilt lim ϵ0P(ϵ,α) = 0. Also gilt

  1 ∑N          ∫
|---   f (xn) -   f (x)dx| ≤ ω(α; f) ⋅ M + 2||f||uP(ϵ,α ) + ||f||u ⋅ ||LN ||
 N  n=1         G

                                    (                           )
                                      ∫   1 ∑N
=  ω(α;f )M  + 2||f ||uP (ϵ,α ) + ||f||u (  |---    aϵ(xn -  t) - 1|dt)
                                      G  N  n=1

Sei α so klein, daß ω(α; f) < δ und ϵ so klein, daß P(ϵ,α) < δ. Sei N0 in Abhängigkeit von α und ϵ(α) so groß, daß ( |  1-
N n=1Na ϵ(xn-t)-1|dt) < δ für N > N0(α,ϵ(α)). Dann ist

               ∫
 1 ∑N
|N--   f(xn ) -   f(x)dx | < δM +  2||f||uδ + ||f||uδ =  δ(M  +  3||f||u).
    n=1         G

Also gilt für jedes f(x) C(G): lim N→∞|1-
N n=1Nf(x n) - Gfdx| = 0. Damit ist der Satz bewiesen. __

Die ||LN,ϵ|| = ( ∫ ∑N                 )
       a ϵ(xn - t) - 1|dt
  G n=1 = DN(aϵ) hängen von der Punktfolge x1,…,xN G und von aϵ() ab. Es ist nützlich zu definieren:

Definition 6. DN(aϵ) ist die aϵ-Dissonanz der Punkte x1,…,xN.

Für f() C(G) gilt also

 1  N∑          ∫
|---   f (xn ) -   f(x )dx| ≤ w (α,f )M +  2||f||uP (ϵ,α ) + ||f||uDN (aϵ).
 N  n=1
               G

Diese Abschätzung berücksichtigt also den Stetigkeitsmodul w(α; f) bezüglich der translationsinvarianten Metrik d(,), das Verhalten des Kernes aϵ() bezüglich P(ϵ,α) und die Dissonanz der Punkte {x1,…,xN} bezüglich des Kernes aϵ().

Ist der Kern (aϵ())ϵ>0 gleich dem Steklow-Kern sϵ(x),

        (
        {  --1-
s (x) =    μ(Vϵ) , f¨ur x ∈ U ϵ = {x : d(x,0) < ϵ}
 ϵ      (     0  ,x ∕∈ U ϵ

so reduziert sich die Abschätzung für f C(G)α, auf

    N          ∫
| 1-∑  f (x  ) -   f(x )dx | ≤ ω (α;f)M  +  ||f||D   (s ),
 N         n                                 u  N   ϵ
    n=1        G

da ja für ϵ α gilt: G-Uα(0)sϵ(x)dx = 0.

Wir verwenden nun dieses Konzept, um mit den Steklow-Kernen sϵ(x) bezüg- lich einer translationsinvarianten Metrik d(,) auf G weitere Verteilungsgrößen für Folgen (xn)n zu definieren, die auch konkrete quantitative Ab- schätzungen zulassen:

Sei χϵ(x) die Indikatorfunktion der Uϵ(0) = {x : d(x, 0) < ϵ}, wobei d(,) eine translationsinvariante Metrik auf G ist. Sei μϵ = μ(Uϵ(0)) das Haarmaß von Uϵ(0). Dann ist sϵ(x) = χϵ(x)|μϵ. Sei d = max xd(x, 0) und

           ∫     ∑N
E   =  sup    | 1-   χ (x  - t) - μ |dt
 N    0<ϵ≤d    N      ϵ  n         ϵ
           G     n=1

Es gilt der Satz:

Satz 5. (xn)n ist glv. genau dann, wenn lim N→∞EN = 0.

Beweis. Sei (xn)n gleichverteilt. Dann gilt ja für d ϵ > 0

lim N→∞ G|1-
N n=1Ns ϵ(xn -t)-1|dt = -1
μϵ lim N→∞ G| 1-
N n=1Nχ ϵ(xn - t) - μϵ|dt.


  Für d ϵ12 > 0 gilt mit der Dreiecksungleichung für L1(G):

 ∫      N                        ∫      N
     1-∑                            -1-∑
|   |N     χϵ1(xn - t) - μ ϵ1|dt -  |N     χ ϵ2(xn - t) - μϵ2|dt|
 G     n=1                       G     n=1

   ∫
       1 ∑N
≤    |---   (χ ϵ1(xn - t) - χϵ2(xn -  t) - (μϵ2 - μ ϵ1)|dt
   G  N  n=1

  ∫   1 ∑N
≤    |---   (χ ϵ1(xn - t) - χϵ2(xn - t)|dt + |μ ϵ2  - μϵ1|
      N n=1
  G

   ∫
≤    |χ  (t) - χ (t)|dt + |μ   - μ  |
       ϵ1       ϵ2          ϵ1     ϵ2
   G

= 2 |μ ϵ1 - μϵ2|.

__

Also gilt das Lemma

Lemma 2. Ist d ϵ12 > 0 so gilt

 ∫     ∑N                      ∫     ∑N
|   | 1    χϵ1(xn- t)- μ ϵ1|dt-    | 1-   χ ϵ2(xn - t)- μϵ2|dt| ≤ 2|μϵ1 - μϵ2|.
    N  n=1                         N  n=1
 G                             G

Sei nun ϵk = d (k-
M  + -1-
2M),k = 1,…,M - 1. Betrachte die Intervalle Ik = (ϵk -2dM-k + 2Md-] = (dM⋅k-,d(kM+1)-],k = 1,…,M - 1 und I0 = (0,Md]. Da das Haarmaß regulär ist und jedes ϵ, 0 < ϵ d, in genau einem Ik liegt, kann M so groß gewählt werden, daß |μϵ - μϵk| < ϵ ist, M = M(δ)Ik,k = k(ϵ). Da weiters für jedes ϵ, 0 < ϵ d, gilt

     ∫      N
        -1-∑
lNi→m∞   |N     χ ϵ(xn -  t) - μϵ|dt = 0,
     G     n=1

gibt es ein N(δ), sodaß für alle N > N(δ),k = 1,…,M - 1, gilt

∫
   1  ∑N
  |---   χ ϵk(xn - t) - μϵk|dt < δ
G  N  n=1

Dann ist für ϵ Ik nach dem Lemma

∫   1 ∑N
  |---   χ ϵ(xn -  t) - μϵ|dt ≤ 2δ,N  > N (δ),k = 1,...,M  - 1
k  N  n=1

Für ϵ I0 gilt ebenfalls für N > N(δ)

∫   1 ∑N
  |---    χϵ(xn - t) - μ ϵ|dt ≤ μϵ + μϵ ≤ 2δ
k  N  n=1

Also gilt für jedes ϵ : 0 < ϵ d und alle N > N(δ) :

           ∫     ∑N
E   =  sup    | 1-   χ (x  - t) - μ |dt ≤ 2 δ.
  N   0<ϵ≤d    N       ϵ n         ϵ
           G      n=1

Damit ist lim N→∞EN = 0 bewiesen. Ist umgekehrt lim N→∞EN = 0, so folgt sofort lim N→∞ G|N1 n=1Nχ ϵ(xn -t) -μϵ|dt = 0 für jedes 0 < ϵ d, woraus die Gleichverteilung von (xn)n folgt. Damit ist der Satz bewiesen. Offensichtlich gilt für x1,…,xN der Satz:

Satz 6.

Ist x1,…,xN beliebig in G, dann gilt für 0 < ϵ d

∫   1 ∑N                     EN
  |---    sϵ(xn - t) - 1|dt ≤ ----
   N  n=1                    μ ϵ
G

Die Größe EN hängt von der gewählten translationsinvarianten Metrik d(,) wesentlich ab, da ja μϵ = μ({x : d(x, 0) < ϵ}) von d(,) abhängt. Ein konkretes Beispiel: Sei G = [0, 1)s modulo 1. Sei d(x,y) = max i=1,…,s << xi - yi >>, wobei << t >> der Abstand von t zur nächsten ganzen Zahl ist. Sei DN die klassische Diskrepanz der x1,…,xN [0, 1)s :

Dann gilt für die Metrik d(,):

            ∫
                 1 ∑N
EN  =  sup      |N--    χϵ(xn - t) - μ ϵ|dt
      0<ϵ≤d[0,1)s    n=1

                 ∑N                           ∑N
≤  sup  sup  |-1-   χ ϵ(xn -  t) - μϵ| ≤ sup | 1    χI(xn) - μ(I)| ≤ DN
  0<ϵ≤dt∈[0,1)s N  n=1                    I  N  n=1

wobei I alle Intervalle I = i=ss[a i,bi) [0, 1)s durchläuft.

Es gilt also der Satz:

Satz 7. EN DN, wobei d(,) die Maximumsmetrik auf [0, 1)s ist.

Sei nun G wieder eine kompakte abelsche Gruppe mit der translationsinvarianten Metrik d(,) und δN = max x min n=1,…,Nd(xn,x) für xn,n = 1,…,N. δN werde bei x = y0 angenommen. Dann ist UδN(y0) = {t : d(y0,t) < δN} die größte offene Kugel, die kein xn,n = 1,…,N, enthält. Sei d = δN2. Dann ist für d(t, 0) < α stets xn∈∕Uα(y0). Also gilt die Abschätzung nach unten :

∫      N
    1-∑
   |N     χU δN(y0)(xn - t) - μδN|dt
G     n=1

  ∫       1 ∑N
≥        |---   χ UδN (y0)(xn - t) - μδN|dt
    Uα(y0) N  n=1

  ∫

=        μδNdt
   Uα (y0)

               2
=  μα ⋅ μδN ≥ μ α

Das ergibt den Satz:

Satz 8. EN μδN∕22

Ein Extrembeispiel: Die Punkte x1 = x1 = = xN haben auf [0, 1)s offensichtlich die Diskrepanz DN = 1. Sei nun x1 = x1 = = xN G, G beliebig kompakt und abelsch, dann ist für ϵ > 0

∫      ∑N
   | 1-   χ (x  - t) - μ |dt
    N       ϵ  n        ϵ
G      n=1

   ∫         N                      ∫             N
          1--∑                                -1-∑
=        |N     χ ϵ(xn - t) - μϵ|dt +         |N      χϵ(xn - t) - μ ϵ|dt
    Uϵ(x1)    n=1                      G-Uϵ(x1)    n=1

=  (1 - μ ϵ)μ ϵ + μ ϵ(a - μ ϵ).

Die Funktion 2x(1 - x) nimmt das Maximum in 0 x 1 bei x = 12 an, sodaß gilt EN = sup 0d(                          )
 ∫  1 ∑N
   |N-    χϵ(xn - t) - μ ϵ|dt
 G    n=1 = 12

Sei nun wieder l(x) L1(G) zulässig, d.h. ˆ
l (γ)0, für γ Ĝ und ˆ
l (e) = 1 für den trivialen Charakter e Ĝ. Sei l(x) C(G), dann gilt der Satz

Satz 9. Ist g(x) = (Tf)(x) = (f * l)(x) : L1(G) C(G), und l(x) C(G) zulässig, dann ist (xn)n genau dann in G gleichverteilt, wenn lim n→∞||LN|| = 0.

Beweis.

             N             ∫              ∫           N
         -1-∑                                     1--∑
LN (f) = N     (T f)(xn) -   (T f)(x)dx =    f(t)(N     l(xn - t) - 1)dt.
            n=1            a              G          n=1

Falls (xn)n gleichverteilt ist, gilt wegen der Stetigkeit von (Tf)(x), daß
 lim n→∞LN(f) = 0 für jedes f L1(G). Da T ein kompakter Operator ist, gilt lim n0||LN|| = lim sup||f||u1|LN(f)| = 0. Gilt umgekehrt lim n→∞||LN|| = 0, dann folgt lim n→∞|LN(f)| = 0 für jedes f L1, speziell für f(x) = γ(x)(x) Ĝ. Nun ist ()(x) = γ(x) * l(x) = ˆl (γ)γ(x) und lim N→∞LN(γ) = lim N→∞ˆl (γ)1N- n=1Nγ(x n) = 0 für γl und = 1 für γ = l. __

Wegen ˆl (γ)0 ist nach dem Weyl’schen Kriterium alles gezeigt.

Offensichtlich ist ||LN||≤|| 1
N- n=1Nl(x n - t) - 1||u.

Wir behandeln nun die Frage, wann die Abschätzung

| LN (f)| ≤ ||LN ||||f ||p

scharf ist und geben auf der Basis des Satzes von James eine hinreichende Bedingung. Der Satz von James über die Reflexivität von Banachräumen lautet:

Satz 10. Der Banachraum X ist genau dann reflexiv, also X = X**, wenn es zu jedem x* X* ein x X gibt, ||x||≤ 1, sodaß x*(x) = ||x*||.

Es folgt der Satz:

Satz 11. Ist l(x) Lq, zulässig, so gilt für das Funktional LN : LN(f) = N1 n=1Ng(x n) - Gg(x)dx mit g(x) = (f * l)(x),f(x) Lp(G), daß zu jedem N ein fN(x) Lp(G) und weiters ein gN(x) C(G) existiert, sodaß ||fN||p1 und ||LN|| = -1
N n=1N(f N*l)(xn)- GfNdx = -1
N n=1Ng N(xn)- GgNdx.||LN|| wird also angenommen, falls 1 < q < .

Beweis. Lq ist für 1 < q < reflexiv und das Funktional LN(f) Lq für f Lp,1
p + 1
q = 1. Also gibt es ein fN Lp,||fN|| ≤ 1, sodaß ||LN|| = LN(fN) = 1N- n=1Ng N(xn) - GgNdx. __

Im Fall l(x) L1(G),f(x) L(G), ist der Operator Tf = f * l bei festem Kern l L1(G) stetig und kompakt. Falls l(X) L1 zulässig ist, gilt wieder |LN(f)|≤||LN||||f|| und lim n→∞||LN|| = 0 genau, wenn (xn)n gleichverteilt ist. Da L(G) nicht reflexiv ist, bleibt offen, ob es ein fN(x) L gibt, sodaß ||LN|| = LN(fN) ist, ||fN|| 1.

Besonderes Interesse findet der Fall p = q = 12,l(x) L2,f(x) L2. Dann ist l(x) L1(G) und f(x) L1(G). Dann ist

            1 ∑N              ∫                       1 ∑N
|LN (f )| = |--   (f *l)(xn) -   (f *l)(x)dx| ≤ ||f ||2||--    l(xn - t) - 1||2
           N  n=1                                    N  n=1
                              G

                     (                        )
                      ∑          1 ∑N           1∕2
= ||f ||2||LN || = ||f||2     |ˆl(γ )|2|---   γ(xn )|2     := ||f ||2FN .
                       γ⁄=0        N  n=1

Wir nennen FN die zum Kern l(x) L2(G) gehörige Diaphonie der Folge x1,…,xN. Ist nun spezieller f(x) L(G), so ist mit g = f *l,f L,l L2 fest, |1-
N n=1Ng(x n)- Gg(x)dx|  ≤||f|||| 1-
N n=1Nl(x n-t)-1||1 ≤||f||FN = ||f||||-1
N n=1Nl(x n-t)-1||2, da ja auf G stets ||⋅||1 ≤||⋅||2.

Es gilt also der Satz

Satz 12. Ist g(x) = (f * l)(x),f L,l L2, so ist

               ∫
 1 ∑N                           1  N∑
|N--   g(xn) -    gdx| ≤ ||f||∞||N--   l(xn - t) - 1 ||1 ≤ ||f||∞FN
   n=1         G                   n=1

Ein Beispiel auf [0, 1)s : Sei für m m = max(1,|m|) und ⃗m = (m 1,…,mj), ⃗x = (x1,…,xs),⃗m s,⃗x [0, 1)s modulo 1. Sei R(⃗m) = m 1,m2,…,ms.

Sei

       ∏s
l(⃗x) =    (1 - 2log(2sinπxj)).
       j=0

Die Fourierreihe von l(⃗x) ist

       ∑   --1--- 2πi⃗m ⃗x   ∑  ˆ     2πi⃗m ⃗x
l(⃗x) =     R (⃗m )e     =     l(⃗m )e
       ⃗m ∈ℤ                ⃗m

Da l(⃗x) für ⃗x s logarithmische Singularitäten hat, ist l(⃗x) L p([0, 1)s) für p 1, jedoch l(⃗x)∕∈L([0, 1)s). Offensichtlich ist l(⃗x) zulässig, da ˆ
l(⃗m)0,ˆ
l ( ⃗0) = 1. l(⃗x) ist auch positiv definit nach Bochner. l(⃗x) wurde von Korobow verwendet, um Diskrepanzabschätzungen und Bedingungen für seine optimalen Gitter zu beweisen [4]. Wir definieren wegen der Verwendung des Logarithmus bei l(⃗x)

Definition 7. ||1-
N n=1Nl(⃗x n -⃗
t ) - 1||p ist die p-Logophonie der Punkte x1,…,xN.

Bemerkung 1. Die 2-Logophonie ist die vom Autor [3] eingeführte klassische Diaphonie der Punkte x1,…,xN.

Wir nennen die p-Logophonie auch LPHp,N bzw LPHN

              1 ∑N
LP Hp,N  :=  ||N--   l(xn - t) - 1||p
                n=1

mit l(⃗x) = j=1s(1 - 2log(2sinπx j)),x1,…,xN [0, 1)s

Da auf kompakten abelschen Gruppen für 1 r p ≤∞||⋅||r ≤||⋅||p gilt, ist auch LPHr,N LPHp,N für 1 r p < .

Es folgt sofort der Satz

Satz 13. (xn)n ist gleichverteilt in [0, 1)s genau dann, wenn

Nlim→ ∞ LP Hp,N = 0

für ein beliebiges 1 p <

Satz 14. ||1-
N n=1Nl(x n - t) - 1||1 = LPH1,N ≤ || 1-
N n=1Nl(x n - t) - 1||2 = FN

Es ist gut bekannt, daß für die optimalen Koeffizienten im Sinne Korobows bzw die guten Gitterpunkte im Sinne Hlawkas, (a1,…,aj) bzw xn = (a1,…,aj) n-
N,n = 1,…,N, gilt

        (       β )
FN =  O   (logN--)-  ,β > 0
             N

wobei die Existenz eines solchen β > 0 ein Optimalitätskriterium ist.

Wir wenden nun die Interpolierte Hölder-Ungleichung auf ||1N- n=1Nl(x n - t) - 1||p,l(x) Lp(G) an. Sei l(x) zulässig und x1,…,xN G. Sei f(x) Lp(G), 1 q < r < p, θ = q
rp-r
p-q, 1 - θ = p
qr-q
p-q. Es gilt Lp(G) Lr(G) Lq(G) L1(G), da auf der kompakten Gruppe G gilt ||f||1 ≤||f||q ≤||f||r ≤||f||p.

Dann gilt die Interpolierte Höldersche Ungleichung, angewendet auf den zulässigen Kern l(x) Lp(G), 1 p < :

Satz 15. Für die Fehlernorm || 1-
N n=1Nl(x n - t) - 1||r,q r p, gilt

      N                       N                        N
|| 1-∑   l(x  -  t) - 1|| ≤  1-∑   l(x  -  t) - 1||1- θ|| 1-∑  l(x  - t) - 1 ||θ
   N        n         r    N        n         p    N        n          q
     n=1                     n=1                      n=1

Falls nun die Folge (xn)n in G gleichverteilt ist und l(x) Lp(G), 1 p < , ist lim n→∞||1-
N n=1Nl(x n - t) - 1||p = 0. Wegen ||⋅||s ≤||⋅||p, folgt sofort für 1 s p : Ist (xn)n gleichverteilt, so gilt

         N
      1-∑
lnim→∞ ||N     l(xn - t) - 1||s = 0
        n=1

Also gilt der Satz:

Satz 16. Ist (xn)n gleichverteilt in G und q < r < p, so gilt

Sei nun l(x) Lp(G) für alle p 1, also l(x) ∈∩p1Lp(G). Das bedeutet nun, daß l(x) in diesem Sinne höchstens ’ schwach singulär’ ist, i.A. ist jedoch l(x)∕∈L(G). Darum gilt für beliebige 1 q < r < p < wieder

    ∑N                       ∑N                       ∑N
|| 1-   l(x  -  t) - 1|| ≤ || 1-   l(x  - t) - 1||1-θ||-1    l(x  - t) - 1||θ
  N        n         r     N        n          p   N        n          q
    n=1                       n=1                     n=1

mit θ = q
rp--r
p- q, 1 - θ = r-q
p-qp
r. Von speziellem Interesse ist der Fall q = 1,r = 2. Sei ϵ < 12, dann ist θ = 12 - ϵ, 1 - θ = 12 + ϵ. Es gilt also hier für p = 1 + 21ϵ :

     ∑N                      ∑N                       ∑N
|| 1-   l(x - t)- 1|| ≤  || 1--   l(x  - t)- 1||1∕2+ϵ||-1-   l(x  - t)- 1||1∕2-ϵ
  N        n         2     N        n        1+21ϵ  N        n         1
     n=1                     n=1                      n=1

Es folgt wie oben der Satz

Satz 17.
 

Wir konkretisieren nun diese für G gültige Abschätzung für
G = [0, 1)s mod 1 und l(x) = l(x 1,…,xj) = j=1s(1 - 2ln(2sinπx j)). l(x) hat bei xj logarithmische Singularitäten, sodaß für p 1 auch ||l(x)||p < ,l(x)∕∈L([0, 1)s). Wir schätzen nun ||l(x)|| p für p 1 nach oben ab.

Wir verwenden dann Γ(p + 1) = 01(ln1
t)pdt und die Stirlingsche Formel Γ(x) = ∘ ---
  2π
   x(x
e)xeμ(x), 0 < μ(x) < 1(12x).

Sei << x >> der Abstand von x zur nächsten ganzen Zahl. Für t (0,12) gilt t sinπt, also gilt für x (0, 1) << t >>sinπt und s1inπt <<t1>->, also 0 lnsin1πt ln<<1t>>-. Unter Benützung der Γ-Funktion und der Stirlingschen Formel gilt ||1-2ln(2sinπt)||p 1+2||ln2+ln(sinπt)||≤ 1+2ln2+2||ln(sinπt)||p = 1+2ln2+2||ln-1--
sinπt||p 1+2ln2+2||ln<<1t>>-||p = 1+2ln2+2(∫ 1          )
  0 ( <<1t>>)pdt1∕p 1+2ln2+2(  ∫ 1         )
 2 (0 (1t)pdt)1∕p = 1 + 2ln22 π1∕pΓ(p + 1)1∕p = 1 + 2ln2 + 2 21
p (∘ -2π-
   p+1)1∕p(1
l)p+1
 p (p + 1)p+1
 p eμ(p+1)∕p. Für p 1 gilt 21+1∕p 4, (∘  2π--
   p+1)1∕p 2, (1
l)p+1p- < 1
l.

Da ln(x+1)∕x für x > 0 fallend ist, gilt (p+1)p+p1 = (p+1)eln(p+1)∕p (p+1)eln2 = (p+1)2. Zuletzt ist 0 < μ(p + 1) < 112(p + 1) 124, also eμ(p+1)∕p exp(1(12(p + 1)p)) < exp(124) < e.

Schließlich ist ||1 - 2ln(2sinπt)||p 1 + 2ln2 + 4 2 1∕l(p + 1) 2 l =1 + 2ln2 + 8(p + 1) = 1 + 2ln2 + 8 + 8p = (8 + (1 + 2ln2 + 8)∕p)p (17 + 2ln2)p < 20p.

Es gilt also das Lemma:

Lemma 3. ||1 - 2ln(2sinπt)||p < 20p.

Folgerung: Nach dem Satz von Fubini gilt für

        s
      ∏                                      s
l(x ) =   (1 - 2ln(2sinπxj )) : ||l(x )||p ≤ (20p) .
      j=0

Wir hatten im obigen Satz auf G die Konstante C(ϵ) = ||l(t) - 1||p12+ϵ mit p = 1 + 214. Also gilt

                    1∕2+ϵ      s s     1∕2+ϵ     s     -1-s     1∕2+ ϵ
C(ϵ) ≤ (||l(t)||p + 1)     ≤ (20 p +  1)     = 20 (1 + 2ϵ)  + 1)

≤ (20s-1)1∕2+ ϵ < 20s-1--⋅--1--<  20s-1--(l1∕l)s
      ϵs            ϵs∕2  (ϵs)ϵ      ϵs∕2

für ϵ < 1
l.

Also gilt als Spezialisierung des obigen Satzes auf G für G = [0, 1)s und l(x) = j=1s(1 - 2ln(2sinπx j)) der Satz über die klassische Diaphonie:

Satz 18.

Bemerkung 2. || 1
N- n=1Nl(x n - t) - 1||1 FN ist gemäß der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung trivial.

Wir betrachten nun das folgende Seitenstück auf G, der konpakten Abelschen und seperablen Gruppe:

Sei l(x) C(G) und l(x) zulässig. Der Operator T lautet hier z.B. für f L, (G) : (Tf)(x) = (f * l)(x).

Da (Tf)(x) stetig ist und l(x) C(G) zulässig ist, folgt sofort der Satz:

Satz 19. Die Folge (xn)n aus G ist gleichverteilt, wenn

          N
       1-∑
Nlim→∞ ||N     l(xn - t) - 1||u = 0
          n=1

Bemerkung 3. l(x) L(G) ist eine zu schwache Voraussetzung, um Gleichverteilungsaussagen zu machen. Für l(x) C(G) können wir die interpolierte Hölderungleichung anwenden: Sei wieder x1,…,xN G und l(x) C(G), sowie 1 q < r < p. Sei θ(p) = q
rp--r
p- q, 1 - θ(p) = r-q
 r-p-
p- q. Es gilt für p 1 :

    ∑N                        ∑N
|| 1-   l(x -  t) - 1|| ≤ || 1-   l(x  - t) - 1||
  N        n          p    N        n          u
    n=1                       n=1

also

    ∑N                        ∑N                        ∑N
|| 1-   l(xn - t) - 1||p ≤ || 1   l(xn - t) - 1||1u-θ⋅ ||-1-   l(xn - t) - 1||θq
  N n=1                    N  n=1                    N  n=1

Man sieht sofort, daß θ(p) q
r, 1 - θ(p) 1 -q
r.

Also gilt mit p →∞

    ∑N                       ∑N                        ∑N
|| 1    l(x  - t)- 1|| ≤ || 1-   l(x  - t) - 1||1-q∕r⋅|| 1-   l(x  - t)- 1||q∕r
 N         n         r    N        n         u       N        n         q
    n=1                      n=1                       n=1

Man kann ||N1 n=1Nl(x n - t) - 1||u als maximale l-Diaphonie bezeichnen.

Es gilt wieder der Satz:

Satz 20.

Für q = 1,r = 1 bedeutet dies

  1 ∑N                     1 ∑N                     1  N∑
||--    l(xn - t)-  1||2 ≤ ||---   l(xn -  t) - 1||1u∕2⋅||---   l(xn - t)- 1||1∕12
 N  n=1                    N n=1                    N  n=1

Wir beweisen nun einige quantitative Fehlerabschätzungen für monothetische Gruppen. Eine topologische Gruppe heißt monothetisch, wenn es eine Folge (an) n,a G, gibt, die dicht in G ist. Es ist bekannt, daß monothetische Gruppen abelsch sind. Die einzige nicht kompakte monothetische lokal-kompakte Gruppe ist . Das Element θ G heißt Generator von G, wenn die Folge ()nN bzw. ()g dicht in G ist. Wir beweisen das folgende gut bekannte Lemma:

Lemma 4. Wenn für ein θ G, G kompakt, die Folge ()n dicht in G ist, ist ()n gleichverteilt.

Beweis. Sei γ ein nicht trivialer Charakter von G, dann ist γ(θ)1. Wäre nämlich γ(θ) = 1, so wäre γ() = γn(θ) = 1 für alle n . Also wäre γ = 1 auf einer in G dichten Menge, also wäre γ der triviale Charakter. Daraus folgt für jeden nicht trivialen Charakter γ:

||    N       ||   ||   N        ||   |               |
|1--∑        |   |1-∑        n|   ||γ(θ)N+1----γ(θ)||   -2-----1-----N→ ∞
||N     γ (nθ)|| = ||N     γ(nθ) || = |  N (γ(θ) - 1  | ≤ N  |γ (θ ) - 1| - → 0
    n=1             n=1

__

Die monothetischen Gruppen besitzen eine einfache Charkterisierung über die duale Gruppe: Die kompakte abelsche Gruppe G ist genau dann monothetisch, wenn Ĝ eine Untergruppe der diskretisierten Gruppe des Einheitskreises ist.

In diesem Kontext ist für monothetische Gruppen sowohl Kuipers-Niederreiter [5] als auch Rudin [6] eine gute Referenz.

Eine kompakte abelsche Gruppe ist genau dann zusammenhängend, wenn sie keinen nichttrivialen diskreten Charakter besitzt. Der Charakter γ Ĝ heißt diskret, wenn γ(G) eine diskrete Unterruppe von {z : |z| = 1} ist. Jede kompakte, separable und zusammenhängende Gruppe ist monothetisch. In diesem Fall sind die nichttrivialen Charaktere γ Ĝ maßtreue Abbildungen von G nach {z : |z| = 1}. Sei also G kompakt, seperabel und zusammenhängend. Es gilt der Satz:

Satz 21. Ist die Fourierreihe von f(x) : G absolut konvergent, so gibt es zu jedem N ein x(N) G, sodaß gilt:

||    N              ∫        ||
||-1-∑                        ||    ∑   ′ ˆ    2ln(N--+-1)
|N      f(nx(N )) -    f(x)dx| ≤ (     |f (p)|)     N     .
|   n=1             G        |      p

Wobei die Summation über alle nichttrivialen Chaktere bedeutet.

Beweis. Für A,B > 0 gilt min(A,B)2AB∕(A+B). Sei γ ein nicht trivialer Charakter. Es gilt für x G : | n=0N-1γ(x)n|≤ N = A und für γ(x)1

|          |
|N∑-1      |   ||γ(x)N - 1||        2
||    γ (x)n||=  ||---------|| ≤  ----------= B
| n=0      |    γ (x ) - 1     |γ(x ) - 1|

__

Also gilt für x G

||N∑- 1     ||                 ---2---⋅ N ⋅ 2
||    γ(x)n|| ≤ min (A, B ) ≤ |γ(x)--1|------ = ------4N--------
|         |                  N +  |γ(2x)-1|-   N |γ(x) - 1| + 2
 n=0

Da G zusammenhängend ist und γ nicht trivial ist, ist γ maßtreu. T = {z : |z| = 1} = {e2πiφ,-1-
2 φ < 1
2}. Es ist |1-z| = |1-e2πiφ| = 2| sin πφ|≥ 4 << φ >>, wobei z = γ(x) gesetzt ist. Also ist

∫                       ∫                       ∫
   ------4N--------       1∕2 ----4N-------       1∕2 ------4N--------
   N |γ(x) - 1| + 2 dx =      N |z - 1 | + 2dφ =      N |1 - e2πiφ| + 2d φ
 G                       - 1∕2                    - 1∕2

  ∫                          ∫                         ∫
     1∕2      2N                1∕2      2N                1∕2   2N
=       --------------dφ = 2      --------------dφ ≤  2      ---------dφ
    -1∕2 N (sinπφ ) + 1        0   N (sinπ φ) + 1         0   2N φ + 1

    ∫  N+1 dt
=  2       -- = 2ln(N  + 1).
      1    t

Also gilt

∫   N-1
    ∑       n
   |    γ(x) |dx ≤ 2ln(N  + 1)
G   n=0

für jeden nicht trivialen Charakter p Ĝ. Sei nun f(x) = pfˆ (p)γ(x) und sei γ′|fˆ (γ)| < . Dann ist

    ||                ∫       ||   ∫  ||               ∫       ||
    | 1 N∑ -1                 |      |1 N∑ -1                 |
mixn∈G||N--    f(nx ) -   f (t)dt||≤     ||N--   f(nx ) -   f (t)dt||dx
    |   n=0          G       |   G  |  n=0          G       |

     (           |            |)                    |            |
  ∫    ∑  ′      | 1 N∑- 1     |        ∑  ′      ∫  |1 N∑-1      |
≤          |ˆf(γ)|||---    γ(x)n||  dx =      |ˆf(γ)|   ||---   γ (x)n||dx
        γ        |N  n=0      |         γ           |N  n=0      |
  G                                              G

   (           )
     ∑  ′         2ln (N + 1 )
≤  (     |ˆf(γ)|)  -----------.W.z.z.w.
     γ∈ˆG              N

Dieser Satz läßt sich für eine Teilmenge der absolut konvergenten Fourierreihen wesentlich verschärfen. Wir beweisen zunächst folgendes Lemma:

Lemma 5. Ist G eine separable kompakte und zusammenhängende Gruppe und ist {ϵγ Ĝγ > 0} eine summierbare Familie, so gilt für fast alle x G, daß das System von Ungleichungen |γ(x) - 1| < ϵγĜ, höchstens endlich viele Lösungen in γ Ĝ hat.

Beweis. Sei wieder für z1 = e2πiφ1,z 2 = e2πiφ2 die Metrik d(z 1,z2) =<< φ1 - φ2 >> . Es ist mit z = e2πiφ,-12 φ < 12, 4|φ|≤|z - 1|≤ 2π|φ|, also 4d(z, 1) ≤|z - 1|≤ 2πd(z, 1),d(z, 1) = |φ|. Sei nun γn,n = 1, 2,…, eine Abzählung der nicht trivialen Charaktere von G und An = {x : d(γn(x), 1) Eγn2}. Dann ist das Haar-Maß λ(An) = ϵpn mit nλ(An) = nϵpn < .B = N1 nNAn ist die Menge aller x G, die in unendlich vielen An liegen. Es gilt

                                 ∑         N →∞
λ(∩N  ∪n>N An ) ≤ λ(∪n ≥N AN ) ≤     λ(An ) -→  0.
                                 n=N

Also liegen λ-fast alle x G in höchstens endlich vielen An,n . Für fast alle x G ist also stets d(γ(x), 1) > ϵγ2 für alle γ Ĝ, abgesehen von jeweils endlich vielen und von x abhängigen Ausnahmen γ Ĝ. W.z.z.w. __

Bemerkung 4. {d(γ(x), 1) Ĝ} beschreibt die ’diophantischen Eigenschaften’ des Gruppenelementes x G.

Seien folgende Funktionenklassen definiert:

A = {f(x) : γ|ˆf (γ)| < ∞}; sei ϵ(x) = γϵγγ(x) mit 0 < ϵγ, γϵγ < . Sei A(r) = {g(x) = f*r(x),f A} = {g(x) = γ(ˆf (γ))rγ(x),f A} und sei Aϵ(r) = {g(x) = γ(ˆf (γ))rϵ γrγ(x),f A},r = 1, 2,

Diese auf kompakten abelschen Gruppen definierten Funktionenklassen sind ähnlich den auf [0, 1)s definierten Korobow’schen Funktionenklassen E αs(C) [4].

Wir definieren nun die Gewichte ρnN,r,n = 0,…,N - 1 gemäß [3] durch die Gleichung

   N∑ -1           r(N∑+1 )
( 1-   zn)r = -1-       ρN,rzn.
 N            N r        n
    n=0             n=0

oder durch

            N∑ -1                      r(∑N-1)
( --1-----         zn)r = -----1----          ρNn,rz.
  2N - 1 n=(-(N- 1))       (2N  - 1)r n=-r(N -1)

Dann ist im ersten Fall für g A(r) oder g A ϵ(r)

|                              |   |                             |
|    r(N -1)            ∫       |   |            r(N -1)           |
||-1-  ∑     N,r                ||   ||∑        1-- ∑     N,r      n||
||N r       ρn  g(nx) -    g(t)dt|| = ||   ‘ˆg(γ) N r      ρn  (γ(x)) ||
      n=0              G             γ           n=0

  |         (                ) r|   (             |              |)
  ||∑           1 r(N∑ -1)         ||     ∑           | 1 N∑ -1       | r
= ||    ‘ˆg(γ )( ---     (γ(x ))n)  || ≤       ‘|ˆg(γ)|1∕r||---    (γ(x))n||
  | γ         N   n=0           |      γ          |N  n=0        |

wobei γ′|ĝ(γ)|1∕r < .

Sei nun g(x) A(r). Dann existiert gemäß einem vorangegangen Satz zu jedem N ein x(N) in der kompakten, separablen und zusammenhängenden Gruppe G, sodaß

             ||  N -1         ||   (             ) (            )
∑         1∕r |1-∑           n|     ∑         1∕2    2ln(N--+-1)
    ‘|ˆg(γ)|   ||N     γ(x (N )) || ≤       ‘|ˆg(γ)|           N
 γ              n=0                 γ

Es gilt also der Satz

Satz 22. Ist G kompakt, separabel und zusammenhängend, und ist g(x) A(r), so gibt es zu jedem N = 1, 2,ein x(N), sodaß

||    r(N -1)                ∫       ||   (             )r (            )
||-1-  ∑     N,r                    ||     ∑         1∕r     2ln(N--+-1)  r
|N r       ρn  g(nx(N )) -   g (t)dt| ≤      ‘|ˆg(γ)|           N
|     n=0                  G       |      γ

Sei nun g(x) aus der kleineren Funktionenklasse Aϵ(r).

Dann folgt unmittelbar wegen des vorangegangen Lemmas:

||                              ||   (                          )r
| 1 r(∑N-1) N,r        ∫        |    ∑            1 γ(x)N -  1|
||--r      ρn  g(nx ) -   g(t)dt||≤       ‘|fˆ(γ )|ϵγ--------------
|N    n=0             G        |      γ         N  |γ(x) - 1|

  (                         )
    ∑                  2      r  1     ∑                  1
≤       ‘|fˆ(γ )|ϵγ ⋅-----------   --r ≤ (   ‘|ˆf(p)| ⋅ C (x))r-r
     γ            4d(p(x),1)    N       γ                N

für fast alle x G. Es gilt also der Satz:

Satz 23. Ist G kompakt, separabel und zusammenhängend, dann gibt es zu fast allen x G ein C(x), sodaß für g Aϵ(r)

|                              |
||   r(∑N-1)            ∫        ||  ( ∑ ′             )r
|-1-      ρN,rg(nx ) -   g(t)dt|≤       |ˆf(p)| ⋅ C (x) -1-
||N r n=0   n                   ||      p                N r
                      G

gilt.

Bemerkung 5. Für r=1 erhält man Resultate für das klassische arithmetische Mittel als Integrationsmethode.

Diese Resultate sind hinsichtlich der Konvergenzordnung nicht verbesserbar.

Es gilt der Satz:

Satz 24. Ist G eine kompakte abelsche Gruppe, dann ist die Konvergenzordnung RN = O(1N-) auf der Menge der (nicht trivialen) Charaktere nicht verbesserbar, wobei

      |                       |
      ||  N∑-1         ∫       ||
RN =  |1--   f (nx) -   f (t)dt| ,f(t) ∈ C (G )
      ||N  n=0                 ||
                      G

ist.

Beweis. Sei x G,x0. Dann gibt es einen Chrakter γ Ĝ mit
γ(x)1, γ(x) ist nicht trivial.

__

Folgerung: Ist G auch zusammenhängend, so ist Ĝ Aϵ(r) A(r). Also ist für r = 1, 2,und falls γ(x)1 ist für gegebenes x0.

|                              |
|   r(N-1)            ∫        |       |          |r
||-1- ∑     N,r                 ||   -1- ||γ(N-x)---1||    -1-
||N r      ρk  γ(nx ) -  Gγ (t)dt|| = N r | γ(x) - 1 |  ≥ N r
      n=0

für unendlich viele N .

Bemerkung 6. Für r = 1, 2 lautet die Quadraturmethode auf der Klasse A(r) bzw. A ϵ(r)

 (1)   1 N∑-1        (2)   1  2N∑- 2
IN  =  ---   g (nx ),IN  = --2     (N  - |N - 1 - n |)g(nx )
       N  n=0             N    n=0

Für r = 1, 2,ist die Komplexität der Berechnung O(r N).

Nun eine Anwendung auf Hilberträume mit reproduzierendem Kern. Sei K(x,y),x,y E, positiv definit, d.h. es ist stets

∑N  ∑N     ----
        an1an2K (xn1,xn2 ) ≥ 0.
n1=1n2=1

Mit < K(x,y1),K(x,y2) >:= K(y2,y1) ensteht ein Prähilbertraum der Linearkombinationen der K(x,yn),n = 1,…,N,N , der zu einem Hilbertraum von Funktionen vervollständigt wird. Dann ist f(y) =< (f(),K(,y) > und f f(y) ein stetiges lineares Funktional über H. Falls K(,) stetig ist sind die f H stetig. Für jede Orthonormalbasis (φn)n von H, der seperabel ist, gilt K(x,y) = nφn(x)φn(y). Weiters gilt für f H : f(x) = n˜fnφn(x) mit  ˜
fn =< f,φn >, wobei n|˜
f n|2 < , n|φn(x)|2 < ,x E. Klassische Referenzen sind [8], [9]. Sei nun l(x) L2(G), also
ˆl(γ)0, Gl(x)dx = 1 und ϵ(x) = γϵγγ(x) mit γϵγ < γ > 0,  Gϵ(x)dx = 1. Sei k(x) = l(x) *l(-x) * ϵ(x) *ϵ(-x). Dann gilt
k(x) = γˆl (γ) *ˆl (γ)ϵγϵγγ(x) und

                      ∑   (              -     ----)   ∑
K (x, y) := k(x - y ) =    ˆl(γ) ⋅ ϵγγ(x))(ˆl(γ )ϵγγ(y) =     φγ(x)φ-γ(y)
                        γ                               γ

ist ein pos. def. Kern K(x,y) auf G x G, wobei φγ(x) = l(ˆγ) ϵγγ(x) gesetzt wurde. H = {f(x) = γ˜fγφγ(x), γ|f˜ γ|2 < ∞}.

Es ist Gf(x)dx =< f(x), 1 >= ˜f1, mit 1 als trivialem Charakter. Dann gilt für f H und x1,…,xN G :

      |                        |   |                                   |
      |1  ∑N          ∫        |   | 1 ∑N                              |
RN  = ||---   f (xn) -    f(x)dx|| = ||---    < f(t),K (t,xn) > - <  f,1 >||
      |N  n=1          G       |   |N  n=1                             |

      ||                  ||
      |||| 1 ∑N             ||||
≤ ||f||||---    K (t,xn ) - 1|| =: ||f||FN (x1, ...,xN)
      ||N  n=1            ||

mit

      ||                         ||   ||                      ||
      ||||1  ∑N ∑        ---       ||||   ||||∑  ′      1 ∑N        ||||
F 2N = ||---       φγ(t)φγ(xn ) - 1|| = ||   φ γ(t)---    φγ(xn)||
      ||N  n=1 γ                 ||   || γ       N  n=1       ||

   (     ||    N        ||2) 1∕2
   ( ∑   ′|-1-∑         | )
=        ||N      φγ(xn)||
      γ      n=1

Es gilt der einfache Satz:

Satz 25. (xn)n ist genau dann gleichverteilt in der kompakten abelschen Gruppe G, wenn lim N→∞FN = 0. Sei nun G auch zusammenhängend und damit monothetisch, und sei xn = nx,n = 0, 1, 2,…, ein Generator von G.

Dann gilt:

              || N        ||2                  |          |2
  2   -1- ∑  ′|∑         |    -1- ∑  ′ˆ  2 2 ||γ(N-x) --1||    -1-  2    ∑  ′ ˆ
FN =  N 2     ||   φ γ(nx)|| =  N 2     |lγ| ⋅ϵγ | γ(x) - 1 | ≤  N 2C  (x)⋅    (lγ)
           γ   n=1                 γ                                    γ

für fast alle x G. Es gilt also der Satz:

Satz 26. Ist G kompakt, separabel und zusammenhängend, abelsch, so gilt RN(f) ≤|| f||FN für f H und für fast alle x G und xn = nx,n = 0, 1, 2,

            ( ∑  ′    )1∕2
FN  ≤ C-(x)       |ˆlγ|2
        N      γ

Da H alle Charaktere enthält, läßt sich die Abschätzung von RN(f) auf H hinsichtlich der Ordnung -1
N nicht verschärfen.

Literaturverzeichnis

[1]   W. Fleischer: Ein Diskrepanzbegriff für kompakte Räume. Anzeigen der Öst. Ak. d. Wiss., Jahrgang 1981, Nr. 6.

[2]   W. Fleischer, H. Stegbuchner:: Über eine Ungleichung in der Theorie der Gleichverteilung. Sitzungsberichte der öst. Ak. d. Wiss., 1982, Band 191, Heft 4-7.

[3]   P. Zinterhof: Über einige Abschätzungen bei der Approximation von Funktionen mit Gleichverteilungsmethoden. Sz. d. öst. Ak. d. Wiss. 185, 121-137, 1976.

[4]   N.M. Korobow: Zahlentheoretische Methoden in der Numerischen Mathematik. Fismatgis 1962. Russisch

[5]   L. Kuipers, H. Niederreiter: Uniform Distribution of Sequences. John Wiley, 1974.

[6]   W. Rudin: Fourier Analysis on Groups. John Wiley 196.

[7]   M. Drmota, R.F. Tichy: Sequences, Discrepancies and Applikations. Lecture Notes in Math. 1651, Springer 1997

[8]   Aronszajn, N.: Theorie of reproducing kernels. Trans. Hm. Math. Soc. 68, 1950.

[9]   Meschkowski, H.: Hilberträume mit Kernfunktion. Grundlehren, Band 113, Springer 1962.