Keywords: Compact abelian groups, Discrepancies, Diaphonies, Numerical Integration, error estimation, Approximate Identities.
W. Fleischer führte in [1] den Begriff des Diskrepanz-Operator in kompakten Räumen ein. Die Vorgangsweise ist: Sei X ein kompakter Raum mit abzählbarer Basis, C(X) der mit der uniformen Norm vollständige Raum der stetigen Funktionen über X mit B ein seperabler normierter Raum. Sei T ein beschränkter Operator von B nach C(X) und (xn)n eine Folge in X. Sei μ ein Wahrscheinlichtkeitsmaß auf X und
für f ∈ B. Dann ist LN ∈ B*.
Definition 1. T heißt Diskrepanzoperator, falls (xn)n genau dann gleichverteilt zum Maß μ ist, wenn lim N→∞||LN|| = 0 gilt. ||LN|| heißt die Diskrepanz der Folge (xn)n zum Maß μ bezüglich T.
Für f ∈ L1[0, 1] und (Tf)(x) = ∫ 01C (0,y)(x)f(y)dy erhält man die klassische Diskrepanz einer Folge (xn)n aus [0, 1], was sofort auf [0, 1)s ausgedehnt wird. In Zinterhof[3] wurde der Begriff der Diaphonie einer Folge (xn)n aus [0, 1) eingeführt:
Sei m = max(1,|m|),m ∈ ℤ und k(x) = (1-+
(1-2{x})2,x = ⌊x⌋+{x},⌊x⌋∈ ℤ,{x}∈ [0, 1).
Dann gilt
Definition 2. FN = ( ∑
n,m=1Nk(x
n - xm) - 1)1∕2, wobei gilt
FN = (∑
m≠0|
∑
m=1Nexp(2πimx
n)|2)(1∕2). F
N werde Diaphonie der
Folge
x1,…,xn genannt.
Offensichtlich gilt: (xn)n ist gleichverteilt in [0, 1), genau wenn lim N→∞FN = 0 gilt. Die Verallgemeinerung auf [0, 1)s liegt auf der Hand. Die Diaphonie einer Folge (xn)n ist eng verwandt mit der L2-Diskrepanz und wurde von einigen Autoren studiert, da sie z.B. direkten Bezug auf die trigonometrischen Summen nimmt.
Wir betrachten nun diese Konzepte auf der hinreichend reichhaltigen Struktur der kompakten abelschen Gruppen und erhalten eine Reihe von qualitativen und auch quantitativen Ergebnissen. Hilfsmittel sind die Faltungsoperatoren auf L2(G).
Es gilt das
Lemma 1. Ist l(x) zulässig, so ist dp(x,y) = ||l(x-t)-l(y-t)||p, 1 ≤ p < ∞ eine Metrik auf G, die translationsinvariant ist.
Es ist nur zu zeigen, daß aus ||l(x - t) - l(y - t)||p = 0 folgt, daß x = y. Die
Fouriertransformierte von l(x - t) - l(y - t) lautet (γ)(γ(x) -γ(y)) für die nicht
trivialen Charaktere γ ∈Ĝ und verschwindet für den trivialen Charakter. Es folgt
(γ)(γ(x) - γ(y)) = 0 für alle γ ∈Ĝ. Wegen
(γ)≠0 folgt γ(x) = γ(y) für γ ∈Ĝ,
also ist x = y. Sei nun d(⋅,⋅) eine translationsinvariante Metrik. Wir benötigen
approximierende Einheiten in folgender Form:
Definition 4. Sei (aϵ(x))ϵ>0 eine Familie von Funktionen aϵ(x) ∈ L1(G), sodaß gilt
Häufig werden app. Einheiten auch in der Form (an(x))n∈ℕ erklärt.
Ein wichtiges Beispiel ist der Kern sϵ(x) = 1∕μϵ für x ∈ Uϵ(0), wobei
Uϵ(0) = {x : d(x, 0) < ϵ} mit einer translationsinvarianten Metrik d(⋅,⋅) und
μϵ = μ(Uϵ) ⋅ sϵ(x) = 0 für xUϵ(0).
Bekanntlich gilt der Satz:
Satz 1. Ist (aϵ(x))ϵ>0 eine appr. Einheit und f(x) ∈ C(G), so gilt lim ϵ→0||f(x) - (f(x) * aϵ)(x)||u = 0.
Für spätere Zwecke wird ein Beweis gegeben:
Beweis. Für x ∈ G gilt |f(x) -∫
Gf(x - t)aϵ(t)dt| =|∫
Uδ(0)(f(x) - f(x - t))aϵ(t)dt + ∫
G-Uϵ(0)(f(x) - f(x - t))aϵ(t)dt|≤
sup d(0,t)<δ|f(x) - f(x - t)|⋅∫
G|aϵ(t)|dt + 2||f||u ∫
G-Uδ(0)|aϵ(t)|dt ≤
w(δ,f)M + 2||f||uP(ϵ,α), wobei
w(δ,f) = sup d(x,x-t)<δ|f(x) - f(x - t)| der Stetigkeitsmodul von f ∈ C(G) ist und P(ϵ,δ) := ∫ G-Uδ(0)|aϵ(t)|dt mit lim ϵ→0P(ϵ,δ) = 0 für δ > 0. __
Die zulässigen Funktionen führen zu zulässigen Metriken. Es gilt nämlich der Satz:
Satz 2. Ist l(x) ∈ Lp(G), 1 ≤ p < ∞, zulässig, so erzeugt die Metrik dp(x,y) = ||l(x - t) - l(y - t)||p die Topologie der kompakten abelschen Gruppe G.
Beweis. dp(x, 0) = ||l(x + t) - l(t)||p. Die Funktion dp(x, 0) ist im Sinne der Gruppentopologie stetig: zu ϵ > 0 gibt es ein Uϵ(0), sodaß für x ∈ Uϵ(0) gilt dp(x, 0) < ϵ. Die Gruppentopologie ist also nicht gröber als die durch dp(⋅,⋅) erzeugte Topologie, die Hausdorff ist. Jede echte Vergröberung eines kompakten Hausdorff-Raumes ist nicht mehr Hausdorff. Also stimmt die von dp(x,y) erzeugte Topologie mit der Gruppentopologie überein. __
Definition 5. Sei l(x) ∈ Lp(G) und f(x) ∈ Lq(G), 1 ≤ p < ∞, +
= 1,
dann nennen wir (Tf)(x) = f(x) * l(x) einen Diaphonie-Operator, falls l(x)
zulässig ist. l(x) ist der Kern des Operators.
Sei g(x) = (Tf)(x) = ∫ Gf(t)l(x - t)dt, dann ist g(x) ∈ C(G). Für x1…,xN ∈ G gilt weiters für
da l(x) zulässig ist.
Es gilt offensichtlich der Sachverhalt:
Wir beweisen nun den folgenden Satz
Beweis. Falls (xn)n gleichverteilt ist, gilt lim N→∞LN(f) = 0 für jedes
f(x) ∈ Lq, da (Tf)(x) = g(x) ∈ C(G). Gilt umgekehrt lim N→∞LN(f) = 0
für jedes
f(x) ∈ Lq, so gilt wegen γ ∈ Lq(G) auch
Da (γ)≠0, folgt aus dem Weyl’schen Kriterium, daß (xn)n gleichverteilt ist.
Der Operator T ist als Faltungsoperator kompakt, also ist auch
LN : Lq → C(G) kompakt. Falls also (xn)n gleichverteilt ist, konvergiert
LN(f) gleichmäßig auf {f : ||f||q ≤ 1} gegen Null. Also gilt
Falls lim N→∞||LN|| = 0, ist (xn)n offensichtlich gleichverteilt. __
Weiters folgt unmittelbar die Abschätzung
Dieses Resultat der Qualititativen Theorie wird später durch die Angabe von (xn)n und durch Quasimontecarlo-Methoden auch durch quantitative Abschätzungen konkretisiert werden. Da wir mit Harmonischer Analyse auf kompakten abelschen Gruppen formulieren, nennen wir ||LN|| die Dissonanz der Folge x1,…,xN, um Kollisionen mit dem Begriff Diskrepanz zu vermeiden. Wir stellen nun den folgenden Zusammenhang zwischen Gleichverteilung und Approximativen Einheiten her:
Ist (aϵ(x))ϵ>0 eine Approximative Einheit für C(G), so ist die Folge (xn)n genau dann gleichverteilt in G, wenn für jedes ϵ > 0 gilt:
Beweis. Sei (xn)n gleichverteilt in G. Für jedes ϵ > 0 ist der Operator
(Tf)(x) = g(x) = (f * aϵ)(x) ein kompakter Operator C(G) →
C(G). Es gilt lim N→∞ ∑
n=1Ng(x
n) = ∫
Gg(x)dx = ∫
Gf(x)dx =
lim N→∞
∑
n=1Nf(x
n) und LN(f) =
∑
n=1N(Tf)(x
n)-∫
G(Tf)(x)dx =
∑
n=1N ∫
Gaϵ(xn-t)f(t)-∫
G ∫
Gaϵ(x-t)f(t)dt =
∑
n=1N(a
ϵ(xn-t)-
1)f(t)dt.
Somit gilt lim N→∞LN(f) = 0 und für jedes f ∈ C(G).
|LN(f)|≤ (∫
G| ∑
n=1Na
ϵ(x - t) - 1|dt)||f||u,LN = LN,ϵ.
Die Norm von LN ist ||LN|| = sup ||f||u≤1|LN(f)| = ∫
G| ∑
n=1Na
ϵ(xn -
t) - 1|dt. Da T : f → Tf kompakt ist, konvergiert für ||f||u ≤ 1 die Größe
LN(f) gleichmäßig gegen Null. Also gilt im Falle der Gleichverteilung der
Folge (xn)n für jedes G > 0 :
Wir setzen nun umgekehrt voraus, daß für die Folge (xn)n gilt: für jedes ϵ > 0 ist lim N→∞||LN|| = 0. Es folgt sofort für g = Tf und jedes ϵ > 0
Da (aϵ(x))ϵ>0 eine Approximierende Einheit ist, gilt
wobei ω(α; f) = sup d(0,t)<α|f(x) -f(x-t)| = sup d(x,x-t)<α|f(x) -f(x-t)| der Stetigkeitsmodul von f(x) bezüglich der translationsinvarianten Metrik d(⋅,⋅) ist; weiters ist P(ϵ,α) = ∫ G-Uα(0)|aϵ(t)|dt, wobei für α > 0 gilt lim ϵ→0P(ϵ,α) = 0. Also gilt
Sei α so klein, daß ω(α; f) < δ und ϵ so klein, daß P(ϵ,α) < δ. Sei N0 in
Abhängigkeit von α und ϵ(α) so groß, daß (∫
| ∑
n=1Na
ϵ(xn-t)-1|dt) <
δ für N > N0(α,ϵ(α)). Dann ist
Also gilt für jedes f(x) ∈ C(G): lim N→∞| ∑
n=1Nf(x
n) -∫
Gfdx| = 0.
Damit ist der Satz bewiesen. __
Die ||LN,ϵ|| = = DN(aϵ) hängen von der Punktfolge
x1,…,xN ∈ G und von aϵ(⋅) ab. Es ist nützlich zu definieren:
Für f(⋅) ∈ C(G) gilt also
Diese Abschätzung berücksichtigt also den Stetigkeitsmodul w(α; f) bezüglich der translationsinvarianten Metrik d(⋅,⋅), das Verhalten des Kernes aϵ(⋅) bezüglich P(ϵ,α) und die Dissonanz der Punkte {x1,…,xN} bezüglich des Kernes aϵ(⋅).
Ist der Kern (aϵ(⋅))ϵ>0 gleich dem Steklow-Kern sϵ(x),
so reduziert sich die Abschätzung für f ∈ C(G),ϵ ≤ α, auf
da ja für ϵ ≤ α gilt: ∫ G-Uα(0)sϵ(x)dx = 0.
Wir verwenden nun dieses Konzept, um mit den Steklow-Kernen sϵ(x) bezüg- lich einer translationsinvarianten Metrik d(⋅,⋅) auf G weitere Verteilungsgrößen für Folgen (xn)n zu definieren, die auch konkrete quantitative Ab- schätzungen zulassen:
Sei χϵ(x) die Indikatorfunktion der Uϵ(0) = {x : d(x, 0) < ϵ}, wobei d(⋅,⋅) eine translationsinvariante Metrik auf G ist. Sei μϵ = μ(Uϵ(0)) das Haarmaß von Uϵ(0). Dann ist sϵ(x) = χϵ(x)|μϵ. Sei d = max xd(x, 0) und
Es gilt der Satz:
Beweis. Sei (xn)n gleichverteilt. Dann gilt ja für d ≥ ϵ > 0
lim N→∞∫
G| ∑
n=1Ns
ϵ(xn -t)-1|dt =
lim N→∞∫
G|
∑
n=1Nχ
ϵ(xn -
t) - μϵ|dt.
Für d ≥ ϵ1,ϵ2 > 0 gilt mit der Dreiecksungleichung für L1(G):
__
Also gilt das Lemma
Sei nun ϵk = d ⋅ ( +
),k = 1,…,M - 1. Betrachte die Intervalle
Ik = (ϵk -
,ϵk +
] = (
,
],k = 1,…,M - 1 und I0 = (0,
]. Da das
Haarmaß regulär ist und jedes ϵ, 0 < ϵ ≤ d, in genau einem Ik liegt, kann M so
groß gewählt werden, daß |μϵ - μϵk| < ϵ ist, M = M(δ),ϵ ∈ Ik,k = k(ϵ). Da
weiters für jedes ϵ, 0 < ϵ ≤ d, gilt
gibt es ein N(δ), sodaß für alle N > N(δ),k = 1,…,M - 1, gilt
Dann ist für ϵ ∈ Ik nach dem Lemma
Für ϵ ∈ I0 gilt ebenfalls für N > N(δ)
Also gilt für jedes ϵ : 0 < ϵ ≤ d und alle N > N(δ) :
Damit ist lim N→∞EN = 0 bewiesen. Ist umgekehrt lim N→∞EN = 0, so folgt
sofort lim N→∞∫
G| ∑
n=1Nχ
ϵ(xn -t) -μϵ|dt = 0 für jedes 0 < ϵ ≤ d, woraus die
Gleichverteilung von (xn)n folgt. Damit ist der Satz bewiesen. Offensichtlich gilt
für x1,…,xN der Satz:
Die Größe EN hängt von der gewählten translationsinvarianten Metrik d(⋅,⋅) wesentlich ab, da ja μϵ = μ({x : d(x, 0) < ϵ}) von d(⋅,⋅) abhängt. Ein konkretes Beispiel: Sei G = [0, 1)s modulo 1. Sei d(x,y) = max i=1,…,s << xi - yi >>, wobei << t >> der Abstand von t zur nächsten ganzen Zahl ist. Sei DN die klassische Diskrepanz der x1,…,xN ∈ [0, 1)s :
Dann gilt für die Metrik d(⋅,⋅):
wobei I alle Intervalle I = ∏ i=ss[a i,bi) ⊆ [0, 1)s durchläuft.
Es gilt also der Satz:
Sei nun G wieder eine kompakte abelsche Gruppe mit der translationsinvarianten
Metrik d(⋅,⋅) und δN = max x min n=1,…,Nd(xn,x) für xn,n = 1,…,N. δN werde bei
x = y0 angenommen. Dann ist UδN(y0) = {t : d(y0,t) < δN} die größte
offene Kugel, die kein xn,n = 1,…,N, enthält. Sei d = δN∕2. Dann ist
für d(t, 0) < α stets xnUα(y0). Also gilt die Abschätzung nach unten
:
Das ergibt den Satz:
Ein Extrembeispiel: Die Punkte x1 = x1 = … = xN haben auf [0, 1)s offensichtlich die Diskrepanz DN = 1. Sei nun x1 = x1 = … = xN ∈ G, G beliebig kompakt und abelsch, dann ist für ϵ > 0
Die Funktion 2x(1 - x) nimmt das Maximum in 0 ≤ x ≤ 1 bei x = 1∕2 an, sodaß
gilt EN = sup 0<ϵ≤d = 1∕2
Sei nun wieder l(x) ∈ L1(G) zulässig, d.h. (γ)≠0, für γ ∈Ĝ und
(e) = 1 für den
trivialen Charakter e ∈Ĝ. Sei l(x) ∈ C(G), dann gilt der Satz
Satz 9. Ist g(x) = (Tf)(x) = (f * l)(x) : L1(G) → C(G), und l(x) ∈ C(G) zulässig, dann ist (xn)n genau dann in G gleichverteilt, wenn lim n→∞||LN|| = 0.
Beweis.
Falls (xn)n gleichverteilt ist, gilt wegen der Stetigkeit von (Tf)(x), daß
lim n→∞LN(f) = 0 für jedes f ∈ L1(G). Da T ein kompakter
Operator ist, gilt lim n→0||LN|| = lim sup||f||u≤1|LN(f)| = 0. Gilt umgekehrt
lim n→∞||LN|| = 0, dann folgt lim n→∞|LN(f)| = 0 für jedes f ∈ L1, speziell
für f(x) = γ(x),γ(x) ∈ Ĝ. Nun ist (Tγ)(x) = γ(x) * l(x) = (γ)γ(x) und
lim N→∞LN(γ) = lim N→∞
(γ)
∑
n=1Nγ(x
n) = 0 für γ≠l und = 1 für γ = l.
__
Wegen (γ)≠0 ist nach dem Weyl’schen Kriterium alles gezeigt.
Offensichtlich ist ||LN||≤|| ∑
n=1Nl(x
n - t) - 1||u.
Wir behandeln nun die Frage, wann die Abschätzung
scharf ist und geben auf der Basis des Satzes von James eine hinreichende Bedingung. Der Satz von James über die Reflexivität von Banachräumen lautet:
Satz 10. Der Banachraum X ist genau dann reflexiv, also X = X**, wenn es zu jedem x* ∈ X* ein x ∈ X gibt, ||x||≤ 1, sodaß x*(x) = ||x*||.
Es folgt der Satz:
Satz 11. Ist l(x) ∈ Lq, zulässig, so gilt für das Funktional LN : LN(f) =
∑
n=1Ng(x
n) -∫
Gg(x)dx mit g(x) = (f * l)(x),f(x) ∈ Lp(G), daß zu
jedem N ein fN(x) ∈ Lp(G) und weiters ein gN(x) ∈ C(G) existiert, sodaß
||fN||p≤1 und ||LN|| =
∑
n=1N(f
N*l)(xn)-∫
GfNdx =
∑
n=1Ng
N(xn)-
∫
GgNdx.||LN|| wird also angenommen, falls 1 < q < ∞.
Beweis. Lq ist für 1 < q < ∞ reflexiv und das Funktional LN(f) ∈ Lq
für f ∈ Lp, +
= 1. Also gibt es ein fN ∈ Lp,||fN|| ≤ 1, sodaß
||LN|| = LN(fN) =
∑
n=1Ng
N(xn) -∫
GgNdx. __
Im Fall l(x) ∈ L1(G),f(x) ∈ L∞(G), ist der Operator Tf = f * l bei festem Kern l ∈ L1(G) stetig und kompakt. Falls l(X) ∈ L1 zulässig ist, gilt wieder |LN(f)|≤||LN||||f|| und lim n→∞||LN|| = 0 genau, wenn (xn)n gleichverteilt ist. Da L∞(G) nicht reflexiv ist, bleibt offen, ob es ein fN(x) ∈ L∞ gibt, sodaß ||LN|| = LN(fN) ist, ||fN||∞ ≤ 1.
Besonderes Interesse findet der Fall p = q = ,l(x) ∈ L2,f(x) ∈ L2. Dann ist
l(x) ∈ L1(G) und f(x) ∈ L1(G). Dann ist
Wir nennen FN die zum Kern l(x) ∈ L2(G) gehörige Diaphonie der Folge
x1,…,xN. Ist nun spezieller f(x) ∈ L∞(G), so ist mit g = f *l,f ∈ L∞,l ∈ L2 fest,
| ∑
n=1Ng(x
n)-∫
Gg(x)dx| ≤||f||∞||
∑
n=1Nl(x
n-t)-1||1 ≤||f||∞FN = ||f||∞||
∑
n=1Nl(x
n-t)-1||2,
da ja auf G stets ||⋅||1 ≤||⋅||2.
Es gilt also der Satz
Ein Beispiel auf [0, 1)s : Sei für m ∈ ℤ m = max(1,|m|) und = (m
1,…,mj),
= (x1,…,xs),
∈ ℤs,
∈ [0, 1)s modulo 1. Sei R(
) = m
1,m2,…,ms.
Sei
Die Fourierreihe von l() ist
Da l() für
∈ ℤs logarithmische Singularitäten hat, ist l(
) ∈ L
p([0, 1)s)
für p ≥ 1, jedoch l(
)
L∞([0, 1)s). Offensichtlich ist l(
) zulässig, da
(
)≠0,
(
) = 1. l(
) ist auch positiv definit nach Bochner. l(
) wurde von
Korobow verwendet, um Diskrepanzabschätzungen und Bedingungen für seine
optimalen Gitter zu beweisen [4]. Wir definieren wegen der Verwendung des
Logarithmus bei l(
)
Bemerkung 1. Die 2-Logophonie ist die vom Autor [3] eingeführte klassische Diaphonie der Punkte x1,…,xN.
Wir nennen die p-Logophonie auch LPHp,N bzw LPHN
mit l() = ∏
j=1s(1 - 2log(2sinπx
j)),x1,…,xN ∈ [0, 1)s
Da auf kompakten abelschen Gruppen für 1 ≤ r ≤ p ≤∞||⋅||r ≤||⋅||p gilt, ist auch LPHr,N ≤ LPHp,N für 1 ≤ r ≤ p < ∞.
Es folgt sofort der Satz
Es ist gut bekannt, daß für die optimalen Koeffizienten im Sinne Korobows bzw die
guten Gitterpunkte im Sinne Hlawkas, (a1,…,aj) bzw xn = (a1,…,aj) ⋅,n = 1,…,N,
gilt
wobei die Existenz eines solchen β > 0 ein Optimalitätskriterium ist.
Wir wenden nun die Interpolierte Hölder-Ungleichung auf
|| ∑
n=1Nl(x
n - t) - 1||p,l(x) ∈ Lp(G) an. Sei l(x) zulässig und x1,…,xN ∈ G.
Sei f(x) ∈ Lp(G), 1 ≤ q < r < p, θ =
, 1 - θ =
. Es gilt
Lp(G) ⊆ Lr(G) ⊆ Lq(G) ⊆ L1(G), da auf der kompakten Gruppe G gilt
||f||1 ≤||f||q ≤||f||r ≤||f||p.
Dann gilt die Interpolierte Höldersche Ungleichung, angewendet auf den zulässigen Kern l(x) ∈ Lp(G), 1 ≤ p < ∞:
Falls nun die Folge (xn)n in G gleichverteilt ist und l(x) ∈ Lp(G), 1 ≤ p < ∞, ist
lim n→∞|| ∑
n=1Nl(x
n - t) - 1||p = 0. Wegen ||⋅||s ≤||⋅||p, folgt sofort für
1 ≤ s ≤ p : Ist (xn)n gleichverteilt, so gilt
Also gilt der Satz:
Satz 16. Ist (xn)n gleichverteilt in G und q < r < p, so gilt
und
also
und
Sei nun l(x) ∈ Lp(G) für alle p ≥ 1, also l(x) ∈∩p≥1Lp(G). Das bedeutet nun, daß
l(x) in diesem Sinne höchstens ’ schwach singulär’ ist, i.A. ist jedoch
l(x)L∞(G). Darum gilt für beliebige 1 ≤ q < r < p < ∞ wieder
mit θ = , 1 - θ =
. Von speziellem Interesse ist der Fall q = 1,r = 2.
Sei ϵ < 1∕2, dann ist θ = 1∕2 - ϵ, 1 - θ = 1∕2 + ϵ. Es gilt also hier für
p = 1 +
:
Es folgt wie oben der Satz
Wir konkretisieren nun diese für G gültige Abschätzung für
G = [0, 1)s mod 1 und l(x) = l(x
1,…,xj) = ∏
j=1s(1 - 2ln(2sinπx
j)).
l(x) hat bei xj ∈ ℤ logarithmische Singularitäten, sodaß für p ≥ 1 auch
||l(x)||p < ∞,l(x)L∞([0, 1)s). Wir schätzen nun ||l(x)||
p für p ≥ 1 nach oben
ab.
Wir verwenden dann Γ(p + 1) = ∫
01(ln)pdt und die Stirlingsche Formel
Γ(x) =
(
)xeμ(x), 0 < μ(x) < 1∕(12x).
Sei << x >> der Abstand von x zur nächsten ganzen Zahl. Für t ∈ (0,) gilt t ≤ sinπt,
also gilt für x ∈ (0, 1) << t >>≤ sinπt und
≤
, also 0 ≤ ln
≤ ln
.
Unter Benützung der Γ-Funktion und der Stirlingschen Formel gilt
||1-2ln(2sinπt)||p ≤ 1+2||ln2+ln(sinπt)||≤ 1+2ln2+2||ln(sinπt)||p = 1+2ln2+2||ln
||p ≤
1+2ln2+2||ln
||p = 1+2ln2+2
1∕p ≤ 1+2ln2+2
=
1 + 2ln2≠2 ⋅ π1∕pΓ(p + 1)1∕p = 1 + 2ln2 + 2 ⋅ 2
(
)1∕p(
)
(p + 1)
eμ(p+1)∕p.
Für p ≥ 1 gilt 21+1∕p ≤ 4, (
)1∕p ≤ 2, (
)
<
.
Da ln(x+1)∕x für x > 0 fallend ist, gilt (p+1)
= (p+1)eln(p+1)∕p ≤ (p+1)eln2 = (p+1)⋅2.
Zuletzt ist 0 < μ(p + 1) < 1∕12(p + 1) ≤ 1∕24, also
eμ(p+1)∕p ≤ exp(1∕(12(p + 1)p)) < exp(1∕24) < e.
Schließlich ist ||1 - 2ln(2sinπt)||p ≤ 1 + 2ln2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 1∕l(p + 1) ⋅ 2 ⋅ l =1 + 2ln2 + 8(p + 1) = 1 + 2ln2 + 8 + 8p = (8 + (1 + 2ln2 + 8)∕p)p ≤ (17 + 2ln2)p < 20p.
Es gilt also das Lemma:
Folgerung: Nach dem Satz von Fubini gilt für
Wir hatten im obigen Satz auf G die Konstante C(ϵ) = ||l(t) - 1||p1∕2+ϵ mit
p = 1 + . Also gilt
für ϵ < .
Also gilt als Spezialisierung des obigen Satzes auf G für G = [0, 1)s und l(x) = ∏ j=1s(1 - 2ln(2sinπx j)) der Satz über die klassische Diaphonie:
wobei für ϵ < 1∕l gilt C(ϵ) < (20l1∕l)s
Wir betrachten nun das folgende Seitenstück auf G, der konpakten Abelschen und seperablen Gruppe:
Sei l(x) ∈ C(G) und l(x) zulässig. Der Operator T lautet hier z.B. für f ∈ L, (G) : (Tf)(x) = (f * l)(x).
Da (Tf)(x) stetig ist und l(x) ∈ C(G) zulässig ist, folgt sofort der Satz:
Bemerkung 3. l(x) ∈ L∞(G) ist eine zu schwache Voraussetzung, um
Gleichverteilungsaussagen zu machen. Für l(x) ∈ C(G) können wir die
interpolierte Hölderungleichung anwenden: Sei wieder x1,…,xN ∈ G und
l(x) ∈ C(G), sowie 1 ≤ q < r < p. Sei θ(p) = , 1 - θ(p) =
. Es
gilt für p ≥ 1 :
also
Man sieht sofort, daß θ(p) ↓, 1 - θ(p) ↑ 1 -
.
Also gilt mit p →∞
Man kann || ∑
n=1Nl(x
n - t) - 1||u als maximale l-Diaphonie bezeichnen.
Es gilt wieder der Satz:
Für q = 1,r = 1 bedeutet dies
Wir beweisen nun einige quantitative Fehlerabschätzungen für monothetische Gruppen. Eine topologische Gruppe heißt monothetisch, wenn es eine Folge (an) n,a ∈ G, gibt, die dicht in G ist. Es ist bekannt, daß monothetische Gruppen abelsch sind. Die einzige nicht kompakte monothetische lokal-kompakte Gruppe ist ℤ. Das Element θ ∈ G heißt Generator von G, wenn die Folge (nθ)n∈N bzw. (gθ)g∈ℤ dicht in G ist. Wir beweisen das folgende gut bekannte Lemma:
Beweis. Sei γ ein nicht trivialer Charakter von G, dann ist γ(θ)≠1. Wäre nämlich γ(θ) = 1, so wäre γ(nθ) = γn(θ) = 1 für alle n ∈ ℕ. Also wäre γ = 1 auf einer in G dichten Menge, also wäre γ der triviale Charakter. Daraus folgt für jeden nicht trivialen Charakter γ:
__
Die monothetischen Gruppen besitzen eine einfache Charkterisierung über die duale Gruppe: Die kompakte abelsche Gruppe G ist genau dann monothetisch, wenn Ĝ eine Untergruppe der diskretisierten Gruppe des Einheitskreises ist.
In diesem Kontext ist für monothetische Gruppen sowohl Kuipers-Niederreiter [5] als auch Rudin [6] eine gute Referenz.
Eine kompakte abelsche Gruppe ist genau dann zusammenhängend, wenn sie keinen nichttrivialen diskreten Charakter besitzt. Der Charakter γ ∈Ĝ heißt diskret, wenn γ(G) eine diskrete Unterruppe von {z : |z| = 1} ist. Jede kompakte, separable und zusammenhängende Gruppe ist monothetisch. In diesem Fall sind die nichttrivialen Charaktere γ ∈Ĝ maßtreue Abbildungen von G nach {z : |z| = 1}. Sei also G kompakt, seperabel und zusammenhängend. Es gilt der Satz:
Satz 21. Ist die Fourierreihe von f(x) : G → ℂ absolut konvergent, so gibt es zu jedem N ∈ ℕ ein x(N) ∈ G, sodaß gilt:
Wobei ∑ ′ die Summation über alle nichttrivialen Chaktere bedeutet.
Beweis. Für A,B > 0 gilt min(A,B)≤ 2AB∕(A+B). Sei γ ein nicht trivialer Charakter. Es gilt für x ∈ G : |∑ n=0N-1γ(x)n|≤ N = A und für γ(x)≠1
__
Also gilt für x ∈ G
Da G zusammenhängend ist und γ nicht trivial ist, ist γ maßtreu.
T = {z : |z| = 1} = {e2πiφ, ≤ φ <
}. Es ist |1-z| = |1-e2πiφ| = 2| sin πφ|≥ 4 << φ >>,
wobei z = γ(x) gesetzt ist. Also ist
Also gilt
für jeden nicht trivialen Charakter p ∈Ĝ. Sei nun f(x) = ∑
p (p)γ(x) und sei
∑
γ′|
(γ)| < ∞. Dann ist
Dieser Satz läßt sich für eine Teilmenge der absolut konvergenten Fourierreihen wesentlich verschärfen. Wir beweisen zunächst folgendes Lemma:
Lemma 5. Ist G eine separable kompakte und zusammenhängende Gruppe und ist {ϵγ,γ ∈ Ĝ,ϵγ > 0} eine summierbare Familie, so gilt für fast alle x ∈ G, daß das System von Ungleichungen |γ(x) - 1| < ϵγ,γ ∈Ĝ, höchstens endlich viele Lösungen in γ ∈Ĝ hat.
Beweis. Sei wieder für z1 = e2πiφ1,z 2 = e2πiφ2 die Metrik d(z 1,z2) =<< φ1 - φ2 >> . Es ist mit z = e2πiφ,-1∕2 ≤ φ < 1∕2, 4|φ|≤|z - 1|≤ 2π|φ|, also 4d(z, 1) ≤|z - 1|≤ 2πd(z, 1),d(z, 1) = |φ|. Sei nun γn,n = 1, 2,…, eine Abzählung der nicht trivialen Charaktere von G und An = {x : d(γn(x), 1) ≤ Eγn∕2}. Dann ist das Haar-Maß λ(An) = ϵpn mit ∑ ′nλ(An) = ∑ n′ϵpn < ∞.B = ∩N≥1 ∪n≥NAn ist die Menge aller x ∈ G, die in unendlich vielen An liegen. Es gilt
Also liegen λ-fast alle x ∈ G in höchstens endlich vielen An,n ∈ ℕ. Für fast alle x ∈ G ist also stets d(γ(x), 1) > ϵγ∕2 für alle γ ∈Ĝ, abgesehen von jeweils endlich vielen und von x abhängigen Ausnahmen γ ∈Ĝ. W.z.z.w. __
Bemerkung 4. {d(γ(x), 1),γ ∈ Ĝ} beschreibt die ’diophantischen Eigenschaften’ des Gruppenelementes x ∈ G.
Seien folgende Funktionenklassen definiert:
A = {f(x) : ∑
γ| (γ)| < ∞}; sei ϵ(x) = ∑
γϵγγ(x) mit 0 < ϵγ,∑
γϵγ < ∞. Sei
A(r) = {g(x) = f*r(x),f ∈ A} = {g(x) = ∑
γ(
(γ))rγ(x),f ∈ A} und sei
Aϵ(r) = {g(x) = ∑
γ(
(γ))rϵ
γrγ(x),f ∈ A},r = 1, 2,…
Diese auf kompakten abelschen Gruppen definierten Funktionenklassen sind ähnlich den auf [0, 1)s definierten Korobow’schen Funktionenklassen E αs(C) [4].
Wir definieren nun die Gewichte ρnN,r,n = 0,…,N - 1 gemäß [3] durch die Gleichung
oder durch
Dann ist im ersten Fall für g ∈ A(r) oder g ∈ A ϵ(r)
wobei ∑ γ′|ĝ(γ)|1∕r < ∞.
Sei nun g(x) ∈ A(r). Dann existiert gemäß einem vorangegangen Satz zu jedem N ein x(N) in der kompakten, separablen und zusammenhängenden Gruppe G, sodaß
Es gilt also der Satz
Satz 22. Ist G kompakt, separabel und zusammenhängend, und ist g(x) ∈ A(r), so gibt es zu jedem N = 1, 2,… ein x(N), sodaß
Sei nun g(x) aus der kleineren Funktionenklasse Aϵ(r).
Dann folgt unmittelbar wegen des vorangegangen Lemmas:
für fast alle x ∈ G. Es gilt also der Satz:
Satz 23. Ist G kompakt, separabel und zusammenhängend, dann gibt es zu fast allen x ∈ G ein C(x), sodaß für g ∈ Aϵ(r)
gilt.
Bemerkung 5. Für r=1 erhält man Resultate für das klassische arithmetische Mittel als Integrationsmethode.
Diese Resultate sind hinsichtlich der Konvergenzordnung nicht verbesserbar.
Es gilt der Satz:
Satz 24. Ist G eine kompakte abelsche Gruppe, dann
ist die Konvergenzordnung RN = O() auf der Menge der (nicht trivialen)
Charaktere nicht verbesserbar, wobei
ist.
Beweis. Sei x ∈ G,x≠0. Dann gibt es einen Chrakter γ ∈Ĝ mit
γ(x)≠1, γ(x) ist nicht trivial.
für k = 0, 1, 2,…. Also wird RNk = unendlich oft angenommen.
w.z.z.w.
Folgerung: Ist G auch zusammenhängend, so ist Ĝ ⊆ Aϵ(r) ⊆ A(r). Also ist für r = 1, 2,… und falls γ(x)≠1 ist für gegebenes x≠0.
für unendlich viele N ∈ ℕ.
Bemerkung 6. Für r = 1, 2 lautet die Quadraturmethode auf der Klasse A(r) bzw. A ϵ(r)
Für r = 1, 2,… ist die Komplexität der Berechnung O(r ⋅ N).
Nun eine Anwendung auf Hilberträume mit reproduzierendem Kern. Sei K(x,y),x,y ∈ E≠∅, positiv definit, d.h. es ist stets
Mit < K(x,y1),K(x,y2) >:= K(y2,y1) ensteht ein Prähilbertraum der
Linearkombinationen der K(x,yn),n = 1,…,N,N ∈ ℕ, der zu einem Hilbertraum
von Funktionen vervollständigt wird. Dann ist f(y) =< (f(⋅),K(⋅,y) > und
f → f(y) ein stetiges lineares Funktional über H. Falls K(⋅,⋅) stetig ist sind die
f ∈ H stetig. Für jede Orthonormalbasis (φn)n von H, der seperabel ist, gilt
K(x,y) = ∑
nφn(x)φn(y). Weiters gilt für f ∈ H : f(x) = ∑
nφn(x) mit
=< f,φn >, wobei ∑
n|
n|2 < ∞,∑
n|φn(x)|2 < ∞,x ∈ E. Klassische
Referenzen sind [8], [9]. Sei nun l(x) ∈ L2(G), also
(γ)≠0,∫
Gl(x)dx = 1 und ϵ(x) = ∑
γϵγγ(x) mit ∑
γϵγ < ∞,ϵγ > 0, ∫
Gϵ(x)dx = 1. Sei k(x) = l(x) *l(-x) * ϵ(x) *ϵ(-x). Dann gilt
k(x) = ∑
γ (γ) *
(γ)ϵγϵγγ(x) und
ist ein pos. def. Kern K(x,y) auf G x G, wobei φγ(x) = ⋅ ϵγγ(x) gesetzt
wurde. H = {f(x) = ∑
γ
φγ(x),∑
γ|
γ|2 < ∞}.
Es ist ∫
Gf(x)dx =< f(x), 1 >= , mit 1 als trivialem Charakter. Dann gilt für
f ∈ H und x1,…,xN ∈ G :
mit
Es gilt der einfache Satz:
Satz 25. (xn)n ist genau dann gleichverteilt in der kompakten abelschen Gruppe G, wenn lim N→∞FN = 0. Sei nun G auch zusammenhängend und damit monothetisch, und sei xn = nx,n = 0, 1, 2,…, ein Generator von G.
Dann gilt:
für fast alle x ∈ G. Es gilt also der Satz:
Satz 26. Ist G kompakt, separabel und zusammenhängend, abelsch, so gilt RN(f) ≤|| f||FN für f ∈ H und für fast alle x ∈ G und xn = nx,n = 0, 1, 2,…
Da H alle Charaktere enthält, läßt sich die Abschätzung von RN(f) auf H
hinsichtlich der Ordnung nicht verschärfen.
[1] W. Fleischer: Ein Diskrepanzbegriff für kompakte Räume. Anzeigen der Öst. Ak. d. Wiss., Jahrgang 1981, Nr. 6.
[2] W. Fleischer, H. Stegbuchner:: Über eine Ungleichung in der Theorie der Gleichverteilung. Sitzungsberichte der öst. Ak. d. Wiss., 1982, Band 191, Heft 4-7.
[3] P. Zinterhof: Über einige Abschätzungen bei der Approximation von Funktionen mit Gleichverteilungsmethoden. Sz. d. öst. Ak. d. Wiss. 185, 121-137, 1976.
[4] N.M. Korobow: Zahlentheoretische Methoden in der Numerischen Mathematik. Fismatgis 1962. Russisch
[5] L. Kuipers, H. Niederreiter: Uniform Distribution of Sequences. John Wiley, 1974.
[6] W. Rudin: Fourier Analysis on Groups. John Wiley 196.
[7] M. Drmota, R.F. Tichy: Sequences, Discrepancies and Applikations. Lecture Notes in Math. 1651, Springer 1997
[8] Aronszajn, N.: Theorie of reproducing kernels. Trans. Hm. Math. Soc. 68, 1950.
[9] Meschkowski, H.: Hilberträume mit Kernfunktion. Grundlehren, Band 113, Springer 1962.